第12章_上_-markov过程与鞅

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1、龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程–与在算法和智能计算中的应用清华大学出版社,2004第12章连续时间连续状态的Markov过程,鞅,Ito积分与随机微分方程1．连续时间连续状态的Markov过程1.1平稳Gauss过程定义１２．１Gauss平稳过程{ξ,t∈R}称为Markov型的，如果其相关函数tDB(s)=E(xx)是连续函数，而且对任意s≥0,t∈R有%tt+s22infE

2、x-ax

3、=infE

4、x-ax

5、.(12.1)n,i£n,t£t,aÎRt+såitaÎRt+stiiii£n2其含义是，在均方距离

6、

7、x

8、

9、=Ex下，若用过程在时刻t以前的资料{x:u£

10、t}的有限线uD性组合去近似x，其最佳的近似只需在L(x)={ax:a为任意实数}中寻找。t+stt对于Markov型的Gauss平稳过程，(12.1)右方必然在某个(依赖于s的)a上达到,我们记此a为a(s).又由于(12.1)成立，那么,对任意u³0及l，l有1222E

11、x-(lx+lx)

12、³E

13、x-a(s)x

14、.t+s1t-u2tt+st从而,对任意u,s>0,由投影公式有E[(x-a(s)x)x]=0,t+stt-u即B(s+u)=a(s)B(u).(12.2)B(s)取u=0,我们得到a(s)=．在(12.2)两端除以B(0)后便得到B(0)a(s+u)=

15、a(s)a(u)(s,u³0)．再由B(s)的连续性，即a(s)是连续函数，及a(s)£1=a(0)推出存在b>0,使-b×sa(s)=B(0)e(b,s³0)．-bs记g=B(0),便得B(s)=ge.b,g>0的情形称为非退化情形.当s<0时，由平稳性我们显见有B(s)=B(-s)，合起来便成为-b

16、s

17、B(s)=ge.(12.3)323此条件也是具有连续相关函数B(t)的实值非退化Gauss平稳过程{x:-¥

18、L,x)的联合分布具有密度.t1tn证明不失一般性,我们可以假定Exº0,g=b=1,t

19、m-1Dh=x-e-(tm-tm-1)x．mtmtm-1那么它的方差为Var(h)=E(x-e-(tn-tn-1)x)2mtntn-1=B(0)-2e-(tm-tm-1)B(t-t)+e-2(tm-tm-1)B(0)=1-e-2(tm-tm-1)．mm-1即h～N(0,1-e-2(tm-tm-1))).由于它与(x,L,x)独立，从而(h,x,L,x)有密mtm-1t1mtm-1t1度:p(y,x,L,x)h,x,L,x1m-1mt1tm-12y-=r(x,L,x)12(1-e-2(tm-tm-1))(t1,L,tm-1)1m-1e.2p(1-e-2(tm-tm-1

20、))利用随机变量密度函数的变换公式，置y=x-e-(tm-tm-1)x,就得到(x,L,x)的密mm-1tmt1度表达式为r(x,L,x)(t,L,t)1m1m324(x-xe-(tm-tm-1))2-mm-112(1-e-2(tm-tm-1))=r(t1,L,tm-1)(x1,L,xm-1)-2(tm-tm-1)e2p(1-e)2(x-xe-(tk-tk-1))2x1m-kk-11-12(1-e-2(tk-tk-1))=e2Õe2-2(tk-tk-1)(12.4)pk=12p(1-e)-b

21、s

22、推论１２．３对于相关函数为B(s)=ge的Gauss平稳过程{x:-¥

23、

24、s

25、推论１２．４相关函数为B(s)=ge的Gauss平稳过程{x:-¥