2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(广东卷)

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1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合，集合，则（）（A）（B）（C）（D）2．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（）（A）（B）（C）（D）3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（）（A）（B）（C）（D）5．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）（A）（B）（C）（D）6．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）（A）（B）（C）（D）

2、7．函数的图象大致是（）8．从这五个数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（）（A）（B）（C）（D）9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）（A）（B）（C）（D）10．设函数（，为自然对数的底数）．若曲线上存在使得，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式的展开式中，含的项的系数是_________．（用数字作

3、答）12．在平行四边形中，对角线与交于点，，则_________．13．设，，则的值是_________．14．已知是定义域为的偶函数，当≥时，，那么，不等式的解集是________．15．设为平面内的个点，在平面内的所有点中，若点到点的距离之和最小，则称点为点的一个“中位点”．例如，线段上的任意点都是端点的中位点．则有下列命题：①若三个点共线，在线AB上，则是的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命

4、题的序号数学社区）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在等差数列中，，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和．17．(本小题满分12分)在中，角的对边分别为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

5、运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数…………甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）运行次数输出的值为的频数输出的值为的频数输出的值为的频数…………当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出的值为2的次数的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段的中点．（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直

6、线交于点，交于点，求二面角的余弦值．20．(本小题满分13分)已知椭圆：的两个焦点分别为，且椭圆经过点．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于、两点，点是线段上的点，且，求点的轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．（Ⅰ）指出函数的单调区间；（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，求的最小值；（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．