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时间:2018-07-29
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1、第一章习题1证明恒等式[证明]习题2证明若,则[证明],又因为所有的指标都是哑指标,,所以,即习题3已知某一点的应力分量,,,不为零,而,试求过该点和z轴,与x轴夹角为的面上的正应力和剪应力。[解]如图1.1,过该点和z轴,与x轴夹角为的面的法线,其与x轴,y轴和z轴的方向余弦分别为cosα,sinα,0,则由斜面应力公式的分量表达式,,可求得该面上的应力为由斜面正应力表达式,可求得正应力为57剪应力为习题4如已知物体的表面由确定,沿物体表面作用着与其外法线方向一致分布载荷。试写出其边界条件。[解]物体表面外表面法线的方向余弦为带入应力边界条件,,得习题
2、5已知某点以直角坐标表示的应力分量为,,,,,,试求该点以柱坐标表示的应力分量。[解]如图1.2,两个坐标轴之间的方向余弦如下表所示:xyzrcosθsinθ0θ-sinθcosθ0z001由应力分量转换公式,求得57利用三角公式可将上面的式子改写为习题6一点的应力状态由应力张量给定,式中,,,为常数,是某应力值,求常数,,,以使八面体面上的应力张量为零[解]由斜面应力公式的分量表达式,,知八面体面上应力张量为零需满足如下方程组:解得习题7证明(1)应力的三个主方向互相垂直;(2)三个主应力,,必为实根[证明](1)设任意两个不同的主应力为、,对应的主方
3、向为、。根据主应力定义有:57,将以上两式分别点乘和再相减,得是对称应力张量,上式可改写为所以应力的三个主方向互相垂直(2)设任意两个不同的主应力为、,对应的主方向为、若为复数,则为其共轭复数,从而方向余弦、互为共轭与主方向相互垂直矛盾所以三个主应力必为实数习题8证明球形应力张量在任意斜面上的剪应力为零,且正应力为[证明]球形应力张量,设任意斜面的方向余弦为由斜面应力公式,得由斜面正应力公式,得由斜面剪应力公式,得习题9求应力偏量张量的不变量[解]应力张量可分解为球形应力张量和应力偏量张量,57应力偏量张量,其主应力方程为,即上述方程存在非零解的必要条件
4、是系数行列式为零,即得到关于的三次代数方程,其中,和分别为应力偏量张量的第一、第二、第三不变量设,和为应力偏量张量的三个主值,则习题10设为二阶对称张量,证明由导出的应力一定满足无体力的平衡方程[证明] 又关于,反对称,关于,对称,即满足无体力的平衡方程,习题11已知直角坐标系中各点的应力张量,试求体积力分量[解]根据平衡微分方程,得57得体积力分量为习题12如图1.3所示的三角形截面水坝,材料的比重为,承受着比重为液体的压力,已求得应力解为,试根据直边及斜边上的表面条件确定系数,,和[解]如图所示,建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为,受外
5、力的作用根据应力边界条件,,在处水坝右侧表面法线的方向余弦为,受外力的作用根据应力边界条件,,在处由上述两个方程组,得习题13如图1.4所示的三角形截面水坝,其左侧作用着比重为的液体,右侧为自由表面,试写出以应力分量表示的边界条件。[解]如图所示,建立平面直角坐标系水坝左侧表面法线的方向余弦为,受外力57的作用根据应力边界条件,,在处水坝右侧表面法线的方向余弦为,受外力的作用根据应力边界条件,,在处第二章习题1初始时刻位于的质点在某时刻的位置为,其中,求格林应变张量的分量。[解]采用拉格朗日描述法,,得由格林应变张量,,,得习题2证明是二阶对称张量的分量
6、,而不是任何张量的分量。57[证明](1),显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系和,各坐标轴之间的方向余弦如下表由弹性力学理论知,,恰与张量定义相吻合,是二阶对称张量的分量(2)设有一剪应变张量,其分量取任一矢量,则,但不能缩并为,与假设是张量矛盾。根据张量的商判则,不是任何张量的分量。习题3为求平面应变分量、、,将电阻应变片分别贴在方向,与成和方向上,测得应变值以、、表示,试求、、[解]平面应变状态下,沿方向,与成和方向上的方向余弦分别为根据方向线元的工程正应变公式,,得57求得习题4假设体积不可压缩位移与很小,,在一定区域内已知,其中,,为常数,求。
7、[解]题目条件适用小变形,,得体积不可压缩,即习题6证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程,。[证明]对于单值连续位移场,并存在三阶以上连续偏导数时,偏导数的值与求导顺序无关关于,对称;关于,对称对于排列符号关于,反对称;关于,反对称即应变恒满足变形协调方程,57习题7假定物体被加热至定常温度场时,应变分量为;,其中为线膨胀系数,试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。[解]由应变协调方程,,得又定常温度场应满足拉普拉斯方程,故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项温度场的函数形式为其中,,,和均为常数。习题8试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程[解
8、]轴对称平面应变情况下,应变分量为因此,平面应变轴对称情况下的应变协调方程为习题
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