材料固体力学答案

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1、第二章习题1初始时刻位于的质点在某时刻的位置为，其中，求格林应变张量的分量。[解]采用拉格朗日描述法，，得由格林应变张量，，，得习题2证明是二阶对称张量的分量，而不是任何张量的分量。[证明]（1），显然可得其对称性对于笛卡尔直角坐标系和，各坐标轴之间的方向余弦如下表由弹性力学理论知，，恰与张量定义相吻合，是二阶对称张量的分量（2）设有一剪应变张量，其分量取任一矢量，则，但不能缩并为，与假设是张量矛盾。根据张量的商判则，不是任何张量的分量。习题3为求平面应变分量、、，将电阻应变片分别贴在方向，与成和方向上，测

2、得应变值以、、表示，试求、、[解]平面应变状态下，沿方向，与成和方向上的方向余弦分别为根据方向线元的工程正应变公式，，得求得习题4假设体积不可压缩位移与很小，，在一定区域内已知，其中，，为常数，求。[解]题目条件适用小变形，，得体积不可压缩，即习题6证明由下式确定的应变恒满足变形协调方程，。[证明]对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关关于，对称；关于，对称对于排列符号关于，反对称；关于，反对称即应变恒满足变形协调方程，习题7假定物体被加热至定常温度场时，应变分量为；，其中

3、为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场的函数形式。[解]由应变协调方程，，得又定常温度场应满足拉普拉斯方程，故的函数形式中不应含有高于或等于2次的项温度场的函数形式为其中，，，和均为常数。习题8试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程[解]轴对称平面应变情况下，应变分量为因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为习题9在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变为常数，试确定其余两个应变分量和的表达式（材料是不可压缩的）[解]平面轴对称情况下，变形协调条件为：当材料不可压缩时，体积应变为零，即，代入上式，得解得

4、，式中，C是右边界条件确定的常数习题10试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。[解]均匀变形状态可表示为其中，为常量设均匀变形前的坐标为，则变形后的坐标为曲面在均匀变形后变成球面，即略去刚体位移，当、、为主轴时，变形前的坐标满足变形前半轴为，，的椭球面在均匀变形后会变成球面。特别的，当时，表示球面均匀变形后仍为球面。习题11若物体内各点的位移分量为，其中，均是常数。试证明，物体内所有各点的应变分量为常数（这种变形状态称为均匀变形），并分别证明在均匀变形后的物体内有：（1）直线在变形后仍然是直线；（2）相

5、同方向的直线按同样的比例伸缩；[证明]由位移分量求得物体内各点的应变分量为（1）即物体内所有各点的应变分量为常数（均匀变形）（1）若物体内任意一点，变形后变为坐标和之间的关系为（2）变形前，直线上的点，和满足（3）将式（3）代入式（2），并整理，得（4）式（4）表明直线在均匀变形后仍然是直线（2）变形前连接两点，的直线长度为，方向余弦为、、，变形后的两对应点，的直线长度为，方向余弦为、、（图2.1）将式（2）代入上式，得（5）将上式两端除以，得（7）而（6）对于方向相同的直线，具有相等的方向余弦、、，在均匀

6、变形情况下，由式（6）和（7），知为常数。即相同方向的直线按同样的比例伸缩；