选修2-1第七单元：双曲线及其几何性质

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1、第七单元：双曲线及其几何性质一、篇首栏目：1、漫画导入：一个小人a代表椭圆，另一个小人b代表双曲线。a说:我是平面内到两定点距离之和是定值的点组成的。b说：我是平面内到两定点距离之差是定值的点组成的。2、编者的话：双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点，直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点。高考主要以选择、填空题的形式考查，属中低档题目。学习的重点是用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程，以及利用双曲线的标准方程求双曲线的几何性质。体会渐近线与双曲线方程、离心率的关系。3、精彩导读基础篇1、椭圆与双曲线的“对话”2、二

2、元二次方程一定表示什么曲线3、方法点拨——求双曲线的标准方程（1）利用定义法确定双曲线的方程（2）待定系数法确定双曲线的方程（3）直接法确定双曲线的方程4、技巧点拨——巧解方程5、知识点归纳——渐近线四点应用提高篇6、性质探讨——双曲线的离心率7、双曲线方程典例分析8、变式训练升华提高链接篇9、数学高考中双曲线主要考查什么？10、高考双曲线解答题怎样考？应用篇二、基础篇，学习从此开始椭圆与双曲线的“对话”双曲线与椭圆虽然同居住在圆锥曲线的大村中，可由于所出的领域不同，它两彼此并不认识，只有以此它俩逛街时不期而遇，才慢慢认识对方，这是怎吗一回事呢？双曲

3、线：你是谁呀，走路不长眼！把我撞疼了。椭圆：哦，对不起！你长的怎吗这么古怪啊，简直时个怪物！我们椭圆可不是你这幅怪摸样!双曲线：我可不是怪物，我叫双曲线！我觉得你才是怪物呢！大热的天把自己包得密不透风的。椭圆：这可是我们椭圆的特别之处！我们家族的成员都是平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。双曲线：我们双曲线时平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数（大于0且小于）的点的轨迹，记住了，以后别再班门弄斧了！椭圆：我们的标准方程：或，其中，你有吗？双曲线：哈哈！我们的更绝，或就是我们的标准方程，我们还有焦距、实轴、虚轴呢！方程中的就是实

4、半轴、时虚半轴、半焦距为，且呢！椭圆：嘘！！肚子里没有货了就拿虚轴来充数了，没有就是没有，干嘛还取那么好的一个名子，还

5、“虚轴”呢！我们不但有焦距，还有长轴、短轴，其中就是长半轴、时短半轴、半焦距为，且呢！我们还由离心率呢，，并且，你有吗？双曲线：嗨！！你们的离心率才那么点范围呀？我们可比你们的大多了，我们的离心率，！椭圆：我们有四个顶点，你有吗？我看你那样也弄不出四个顶点来。双曲线：要那么多顶点把自己框的死死的干嘛，你瞧我，只有来你哥哥顶点，而我的范围确实或（或），多么轻松，在瞧瞧你，我可真同情你，你上面的点永远也只能在与（与）围成的矩形内活动，我

6、差点忘了十分重要的一点，我还有两条渐近线，我的焦点在轴上时，渐近线的方程为，焦点在上时，渐近线的方程为，渐近线的特点是十分靠近双曲线却又不与双曲线相交，它们就像我的保镖，你有吗？椭圆：哦，老弟，我不跟你比了，我总觉得咱俩由很多相似的地方，你在那个村住啊？双曲线：援助曲线村呀！椭圆：哎呀，真是大水冲了龙王庙，我也是圆锥曲线存在的一员，咱俩应该团结互助，共同为咱们大家族作出更大的贡献！！二元二次方程一定表示什么曲线在高中阶段，我们学习过了一些二元二次方程，那么二元二次方程能表示那些曲线呢？下面对这个问题作简单的探究：问题探讨：对于二元二次方程（其中不能同

7、时为零）⑴当时，方程为，即，表示与轴平行的两直线；⑵当时，方程为，即，表示与轴平行的两直线；⑶当时，方程为，表示以原点为圆心，半径的圆；⑷当，且时，方程为，其中：当时，表示以为焦点，长轴长为的椭圆.当时，表示以为焦点，长轴长为的椭圆.⑸当时，方程为，其中：当时，方程为表示焦点在轴上的双曲线.当时，方程为表示焦点在轴上的双曲线.例如、探究方程表示何睁曲线？解析：当时，即，方程无解，方程不表示任何曲线；当时，即，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，即，方程表示焦点在轴上的双曲线；当时，不存在；当时，不存在；当，即时，则，方程不表示任何曲线.点评：对于方程不

8、能轻易认为它们表示椭圆或双曲线，因为这里的符号及大小关系都不能确定，应严格按照的符号及大小关系进行合理判定.方法点拨——求双曲线的标准方程求动点轨迹方程是一个综合性的课题，渗透性强，牵涉知识面宽，其实质是将“形”转化为数，将“曲线”转化为“方程”，数、形结合体现“转化”的数学思想方法。利用定义法确定双曲线的方程BAODP例1、（08年湖北卷）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点，建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；解析：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，

9、则，依题意得：∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实平轴长为，虚半轴长为，半焦距为，则，c∴，∴