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《2018版高中数学苏教版选修2-1学案：3.2.3 空间的角的计算1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案3.2.3 空间的角的计算[学习目标] 1.理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题.3.掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一 两条异面直线所成的角(1)定义：设a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做a与b所成的角．(2)范围：两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤.(3)向量求法：设直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为φ，则a，b所成角的余弦值为cosθ＝
2、cosφ
3、＝.
4、知识点二 直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤.(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝
5、cosφ
6、＝或cosθ＝sinφ.知识点三 二面角(1)二面角的取值范围：[0，π]．(2)二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A，C)，如图，则二面角的大小就是向量与的夹角．②设n1、n2是二面角α-l-β的两个面α，β的
7、法向量，则向量n1与向量n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小．题型一 两条异面直线所成角的向量求法例1 如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝82017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解 以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1
8、，－4)．因为cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.反思与感悟 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角的计算思路简便，要注意角的范围．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点．若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置．解 以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设E(1，t,0)(0≤t≤2)，则A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,
9、1)，C(0,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(1，t－2,0)，根据数量积的定义及已知得：1＋0×(t－2)＋0＝×·cos60°，所以t＝1，所以点E的位置是AB的中点．题型二 直线与平面所成角的向量求法例2 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，M(0，，a)，C1(－a，，a)，B(0，a,0)，故＝(－a，，a)，82017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案＝(0，，a)，＝(－a，－，a)．设平面
10、AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．则∴令y＝2，则z＝－，x＝0.∴n＝(0,2，－)．又＝(－a，－，a)，∴cos〈，n〉＝＝＝－.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝
11、cos〈，n〉
12、＝.反思与感悟 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系．跟踪训练2 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值
13、．(1)证明 由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.82017-2018学年苏教版高中数学选修2-1学案因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解 取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，AE＝＝＝.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(，2，0)，N，＝(0，2，－4)，
14、＝，＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0，2，1)．于是cos〈n，〉＝＝.设AN与平面PMN所成的角为θ，则
