高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 空间角的计算（1）学案苏教版选修2-1

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1、3.2.3空间角的计算⑴【学习目标】能用向量方法解决线线，线面，面面的夹角的计算问题．【学习重点】空间线线，线面，面面的夹角的计算用．【学习难点】将几何中相关的量转化为坐标形式．【学习过程】一．知识要点立体几何中角的计算是建立在弄清概念，恰当作图，严格论证的基础上的．空间的角有三种：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角．在学习了空间向量之后，我们可以用一种统一的模式来求以上各角．1．异面直线所成的角设l1与l2为异面直线，与分别为l1与l2的方向向量，设l1与l2所成的角为θ，则有．2．直线和平面所成的角设为直线l的方向向量，为平面α的法向量，θ为l与平面α所成的角，则有，即．3．平

2、面与平面所成的角设二面角α−l−β的两个半平面α，β的法向量分别是，，二面角α−l−β的大小为θ，则有．由于平面的法向量的选取的不同，有θ=<，>，或θ=π−<，>．若可以确定二面角是锐角或钝角，则此二面角的大小可以唯一确定．综上，空间角的问题最终都转化为求直线夹角的问题，这样可以避免一些复杂的作图和证明过程，但在应用时要注意对结果的处理．二．例题讲解DCBAD1C1B1A1PO3O2O1例1．棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O1，O2，O3分别是面A1B1C1D1，面BB1C1C，面ABCD的中心．求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值．DCBAD1C1B

3、1A1例2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F是BC的中点，点E1在D1C1上，且D1E1=D1C1，试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值．变题:若将题中的条件“F是BC的中点”改为“CF=CB”呢?例3．已知E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求：DCBAD1FEA1C1B1⑴A1D与EF所成角的大小；⑵A1F与平面B1EB所成角的大小；⑶二面角C-D1B1-B的大小．三．课堂练习1．设，分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，且cos<，>=−，则异面直线l1，l2所成的角的大小为．2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则对

4、角线DB1与CM所成的角的余弦值．3．已知平面的一条斜线和它在平面内的射影的夹角为45°，平面内一条直线和这条斜线在平面内的射影的夹角为45°，则斜线和平面内的这条直线所成的角的大小为．四．课堂小结1．两条异面直线的所成的角等于两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．要注意两条异面直线所成角的范围是锐角或直角，而两条直线的方向向量所成的角的范围是[0，π]，求解过程中要注意结果的处理；2．直线与平面所成的角等于直线与平面的法向量所成角的余角；3．二面角的平面角的大小为等于两平面的法向量所成的角(或其补角)．若以二面角内的一点为起点向两个平面引射线(平面的法向量)，则两法向量所成的角与二面角的平

5、面角互补；若以二面角外的一点为起点向两个平面引射线，则两法向量所成的角与二面角的平面角相等．五．课后作业1：1．已知二面角α−l−β为60°，异面直线a，b分别垂直于平面α，β，则a，b所成的角的大小是．2．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B-AD-C后，BC=a，这时二面角B-AD-C的大小为．3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角是．4．已知锐二面角α−l−β的平面角是θ，m是平面α内异于l的一条直线，则m与β所成的角的范围是．5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与A1B1CD平面

6、所成角的大小．求二面角B-PA-C的大小．ABCDV6．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．⑴证明：AB⊥平面VAD；⑵求平面VAD与面VDB所成的二面角的大小．