§4.5 力学量测量结果的几率 平均值

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1、§4.5力学量测量结果的几率平均值　重点：  在本征态和任意态中测量力学量的物理过程　（一）力学量测量结果的几率设算符的本征函数组成正交归一完全系，它所属的本征值互不相等。本征值方程为（4.5-2）根据本征函数的守全性，可看作是各本征态的线性迭加：（4.5-3）根据态迭加原理，也是体系的可能状态，但它显然不是的本征态，因为我们得不到关系式即在态中，将得不到确定的数值，由于态可看成是各个本征态的迭加，因此在测量的某一瞬刻、体系实际上是处于各本征态的某一个中，故可能测量到数值将是本征值谱中的某一个，所以我们称各次测量到的数值为可能值。设测得出现的相对次数即相对几率分别为这些几率正好分别

2、是的展开式（4.5-3）中各项系数模的平方，即（4.5-4）设已归一化的，即（4.5-5）注意到的正交归一性，就得到我们看到具有几率的意义，它表明态中测量力学量F得到结果是的本征值的几率，故cn常称为几率振幅。可以证明，当的本征值组成连续谱时，也类似的结果，即（4.5-8）而（4.5-9）是在态中，测得体系的力学量F的数值为的几率，其中右由（4.4-17）式即（4.5-10）算出。归纳上面的讨论，我们引进量子力学中关于力学量与算符关系的一个基本假定：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它的本征函数组成完全系，如果体系处在的属于本征值的本征态中，测量力学量F所得的数值，就是的本征

3、值；如果体系所处的状态不是的本征态，可以测到力学量F的各种可能值，这些可能值都是在的本征值谱之中，而且测得数值为的几率是。这个假定的正确性，如同薛定谔方程一样，由理论与实验结果符合而得到验证。（二）平均值当体系所处状态不是的本征态时，测量力学量得到的可能值是以一定的几率出现，但是多次测量的平均值是确定的，按照由几率求平均值的法则，可以求得力学量F在态中的平均值是（4.5-11）这式子可改写为（4.5-12）这两个式子相等可以用（4.4-14）式及的正交归一性（4.4-8）式来证明，即对于没有归一化的波函数，乘进归一化因子后，（4.5-12）式改写为 （4.5-13）