2012年全国初中数学竞赛试题(正题)参考答案

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1、2012年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案  一、选择题 1（甲）．C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 ，且， 所以 ．   1（乙）．B 解：． 2（甲）．D 解：由题设知，，，所以. 解方程组得  所以另一个交点的坐标为（3，2）. 注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设x2＋y2≤2x＋2y，得0≤≤2. 因为均为整数，所以有     解得          以上共计9对. 3（甲）．D    解

2、：由题设知，，所以这四个数据的平均数为 ， 中位数为            ， 于是                  . 3（乙）．B 解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE.  （第3（乙）题） 由于AC=BC，CD=CE， ∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE， 所以△BCD≌△ACE，BD=AE. 又因为，所以. 在Rt△中， 于是DE=，所以CD=DE=4. 4（甲）．D 解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数.由题设可得  消去x得       

3、        (2y－7)n=y+4，               2n=. 因为为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7． 4（乙）．C 解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为，故方程的根为一正一负．由二次函数的图象知，当时，，所以，即.由于都是正整数，所以，1≤q≤5；或，1≤q≤2，此时都有.于是共有7组符合题意． 5（甲）．D 解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个

4、，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大． 5（乙）．C 解：因为，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变． 设经过99次操作后黑板上剩下的数为，则 ， 解得                    ，． 二、填空题 6（甲）．7＜x≤19 解：前四次操作的结果分别为  3x－2，3(3x－2)－2=9x－8，3(9x－8)－2=27x－26，3(27x－26)－2=81x－80. 由已知得      27x－26≤487，           

5、        81x－80＞487. 解得 7＜x≤19. 容易验证，当7＜x≤19时，≤487≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19． 6（乙）．7 解：由已知可得   ． 7（甲）．8 解：连接DF，记正方形的边长为2.由题设易知△∽△，所以  ， 由此得，所以.  （第7（甲）题） 在Rt△ABF中，因为，所以 ， 于是            . 由题设可知△ADE≌△BAF，所以，      . 于是       ， ，                 .  又，所以. 因为，所以. 7（乙）． 

6、解：如图，设的中点为，连接，则．因为，所以 ， ．  （第7（乙）题） 所以   . 8（甲）． 解：根据题意，关于x的方程有 =k2－4≥0， 由此得                          (k－3)2≤0．  又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3.此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故==． 8（乙）．1610 解：因为==. 当被5除余数是1或4时，或能被5整除，则能被5整除； 当被5除余数是2或3时，能被5整除，则能被5整除； 当被5除余数是0时，不能被5整除.

7、 所以符合题设要求的所有的个数为． 9（甲）．8 解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知 ， 由此得0≤b≤43.     又，所以.于是                     0≤≤43， 87≤≤130， 由此得，或. 当时，；当时，，，不合题设. 故． 9（乙）．≤1    解：由题设得  所以                  ， 即                     . 整理得                        ， 由二次函数的图象及其性质，得. 又因为≤1，所以≤1. 10（

8、甲）． 解：如图，连接AC，BD，OD.  （第10（甲）题） 由AB是⊙O的直径知∠BCA=∠BDA=90°. 依题设∠BFC=90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以 ∠BCF=∠BAD, 所以Rt△BCF∽Rt△BAD，因此. 因为OD是⊙O的半径，AD=CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是.因此 . 由△∽△，知．因为， 所以，BA=AD，故 . 10（乙）.12 解：由已