[初二]竞赛专题选讲之——数的整除(二)

《[初二]竞赛专题选讲之——数的整除(二)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、初中数学竞赛专题选讲数的整除（二）一、内容提要在初一部分的我们介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2),24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵若ab且ac,则a(bc).⑶若a,b互质，且ac,bc，则abc.反过来也成立：a,b互质，abc，则ac,bc.例如：8和15互质，8｜a

2、,15

3、a，则120｜a.反过来也成立：若120｜a.则8｜a,15

4、a.⑷由乘法公式（n为正整数）推得：由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn.得(a－b)

5、(an－bn).(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1.(a+b)

6、(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)

7、(a2n－b2n).概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.齐奇

8、数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.例如（a+b）

9、(a6－b6),(a－b)

10、(a8－b8)；(a+b)

11、(a5+b5)，(a－b)

12、(a5－b5).二、例题例1.已知:整数n>2.求证：n5－5n3+4n能被120整除..证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).∵(n－2)(n－1)n(n+1)(n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，∴120｜n5－5n3+4n.31例2.已知：n为正整数.求证：n3+n2+n

13、是3的倍数.22311证明：n3+n2+n＝n（2n2+3n+1）2221=n(n+1)(2n+1)21=n(n+1)(n+2+n－1)211=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).22∵3！｜n(n+1)(n+2)，且3！｜n(n+1)(n－1)..14811∴3｜n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n－1).2231即n3+n2+n是3的倍数.22（上两例关鍵在于创造连续整数）例3.求证：⑴33｜255＋1；⑵1989｜（19901990－19881988）.证明：⑴255＋1＝25×11＋111＝3211

14、＋111.∵(32＋1)

15、(3211+111)，即33｜255＋1.⑵19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）.即1989×2｜（19901990－19881990）.∵19881990－19881988=19881988(19882－1)＝19881988（1988＋1）（1988－1）.即19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987.（

16、N是整数）∴1989｜19901990－19881988.例4设n是正整数，求证：7｜（32n+1+2n+2）.证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9n+4×2n＋3×2n－3×2n（添两项）＝（4×2n＋3×2n）＋（3×9n－3×2n）＝（4＋3）＋3（9n－2n）＝7×2n＋3（9－2）N.（N是整数）∴7｜（32n+1+2n+2）（例3，4是设法利用乘法公式）例5.已知19xy87能被33整除，求x,y的值.解：∵33＝3×11，∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数，即x+y=3K－25(k为整

17、数).又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x－y=11h+7(h是整数).∵0≤x≤9，0≤y≤9，∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+y>x－y,且x+y和x－y同是奇数或偶数.x11x14x8符合条件的有或或.y7y4y4x9x5x2解得或或.y2y9y6例6.设N＝2x78，且17｜N,求x..解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x＝17×（122＋6x）+4－2x.∵17｜N，∴17｜4－2x，当4－2x=0

18、.∴x=2.149三、练习1.要使2n+1能被3整除，整数n应取＿＿＿，若6｜（5n－1）,则整数n应取＿＿＿.2.求证：①4!

19、（n4+2n3－n2－2n）；②24｜n(n2－1)(3n+2)；③6｜（n3+11n）；④30｜（n5－n）.3.求证：①100｜9910－1）；②57｜（23333＋72