第二节l'hospital法则

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1、第二节L’Hospital法则这一节我们通过Cauchy中值定理来得到一个求极限的法则——L’Hospital法则。并利用它来求一些所谓不定型的极限．定理6.11　设，，且，在的某个去心邻域中可导，若存在（可以是有限数或），则．证由于，在的某个去心邻域中可导，所以可假设，这样，，就都在点连续了．故由Cauchy中值定理得到，　（介于与之间）当时，．而当时，存在，所以．注6.2（１）．若，，我们称为型的未定式．　　　（２）．若不存在，不能说也不存在．我们容易知道是型的未定式，且其极限为０．但是不存在，所以用L’Hospit

2、al法则不能证明极限不存在．以下用L’Hospital法则计算几个极限．例6.6　求．解当时，与的极限都是０，所以此极限是型的未定式，可以考虑用L’Hospital法则．．例6.7求．解：此极限是型的未定式，考虑用L’Hospital法则．．这里连续用了两次L’Hospital法则．类似地，若将定理中的换为可以得到同样的结论．看下面的例子：例6.8　求．．若将定理中的，换为，，也可以有类似的L’Hospital法则．此时我们称为的不定式．也就是下面的定理．定理6.12　设，，且，在的某个去心邻域中可导，若存在（可以是有限

3、数或），则．证（略）．进一步，我们可以得到定理6.13　设，且，在的某个去心邻域中可导，若存在（可以是有限数或），则证（略）．例6.9　求，．解此极限为的不定式．用L’Hospital法则可以得到．即对于任意的，有．我们也可以将上面定理中的也可以换为．例6.10　设，求．解这是型的未定式，所以可以考虑用L’Hospital法则．．当时，有，是无穷小，是有界量，所以原式＝．例6.11　当，时，求。解时，为型的极限。所以可以用L’Hospital法则．．还有一些形式的不定式如：形如，，，等的不定式，可以先将它化为或者型的不定

4、式，然后可以考虑用L’Hospital法则计算．例6.12　求．解令，则．；所以．由此可知，．例6.13　求．解：此不定式是型的不定式．可以先取对数，化为计算一个型的不定式．令，则，，因为　　　　　　　　　　　，所以＝．例6.14求．解令，则．所以．习题6.21．求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）(7)(8)(9)（10）(11)(12)(13)(14)(15)(16)2．设函数有连续的二阶导数，证明3．设函数在上有界，存在，且，证明。