第一章 数值计算基本概念

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1、第1章数值计算基本概念1.1概述关键词：CFD、微分方程à离散方程、连续解à离散点上的解1.1.1CFD数值流体力学一般称为CFD(ComputationalFluidDynamics),为流体力学的一个重要支柱。CFD即利用离散方法(discretizationmethod),将微分方程简化成代数方程式，通过计算机近似求解流体微分方程的方法。它的解是一些小的空间和时间上的区域上的解，称为离散点。CFD同理论、实验并列。被人注目的理由之一是，它为计算机利用的力学（计算力学）的一面，特别是它为超级计算机的重要利用领域之一。此外，利用高度的图形处理，可将其结果表示非常美丽的图象，对

2、年轻人非常有魅力。因此，流体的数值模拟，在许许多多的领域内得到了利用。有许多人是在对数值计算方法了解的基础上，自己编程进行模拟。也有相当一部分人是用商用程序进行模拟。CFD包括面很广泛，从采用良好的工程设计方法，到详细求解Navier-Stokes方程；从简单流动到非常复杂的流动。简单的可能在几秒时间内就能完成，复杂的需要在最大的超级计算机上用几百个小时才能完成。完美的CFD应满足以下条件：·适用任何问题·计算速度快·能得到精度高且可信度高的结果·程序简单，谁都能简单使用·记忆容量少其实不然，以上的要求相互矛盾，至今无一程序能满足。提醒：连续介质àNavier-Stokes,非

3、连续介质àBoltzman1.1.2微分方程的求解方法19将连续的数据用离散的数据来记录，称为离散化（discretization）。在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接。这样，即使对于假的离散数据，只要在头脑内想象成连续的函数即可认为在对微分方程进行求解。这样，只要已知现在的时间和空间，就可根据这些离散数据对想象进行预测。数值流体力学的问题一般是要了解每时每刻流场的变化过程。即对支配方程式进行积分求解。实际上是求空间离散点（网格）上的压力、速度等物理量。图示：离散化、控制方程、压力，速度，温度光滑曲线1.7数值求解方法的基本组成关键词：数学模型、方程离散化方法、坐标、空间离

4、散、网络、求解方法、收敛准则1.7.1数学模型1.控制方程类型（提醒：主导方程、支配方程）基本偏微分方程的形式:（2D）提醒：微分形式和积分形式（01）提醒：空间:x,y时间—空间：t,x;t,x,y对于求解域内的任一点(xo,yo)·双曲型方程:,过该点有两条实的特征线如当ac<0异号，，波动方程·抛物型方程:,过该点有一条实的特征线如当ac=0，，非稳态导热·椭圆型方程:,过该点无实的特征线19如当ac>0同号，，稳态导热i.椭圆型方程相当于平衡问题或稳态问题。影响区域是椭圆的。与时间无关。空间的闭区域。又称为边值问题。例如：稳态导热问题。稳态扩散问题。闭区域（xo,yo

5、）求解特征：所有点联立求解。用直接法或迭代法。提示：稳态、边值、相互影响边界ii.抛物型方程时间步进性问题或相当于时间的步进性问题。又称为初值问题。影响区域以特征线为分界线，与主流方向垂直。例如：1D非稳态导热（时间步进）；2D稳态边界层型的流动和换热问题（扩散忽略，主流方向步进）求解特征：从已知的初值开始，逐步推进，依存获得适合定边界的解。求解代数方程的量可为一维的，可节约容量。（xo,yo）前一时刻tt+Dt物理意义：分布与瞬时以前的情况和边界条件相关。（时间步进）t,x推进下游的分布仅与上游的变化相关（主流步进）xiii.双曲型方程（xo,yo）也是步进问题。但依赖区域仅

6、在两条特征区域之间。t,x例如：无粘性流体的非稳态问题；无粘性流体的稳态超音速流动。1.流动类型偏微分方程组或积分方程组及边界条件。必须选择应用的目标：·不可压缩ßà可压缩·非粘性的ßà粘性·湍流ßà层流·2维或3维·单相ßà多相·。。。由此可以选择不同的简化守恒方程。191.7.1控制方程的离散化方法(discretizationmethod)i.有限差分法(finitedifferencemethodFDM)微分方程使用网络节点，选择微分的近似方法。·将区域离散成有限个网格，通常为结构化网格；·选择方程各项的差分形式（Taylor展开）；·对每个节点建立差分方程；·整理出关

7、于节点上未知数的非线性代数方程式。提示：网格、微分方程、差分形式、差分方程、代数方程ii.有限体积法(finitevolumemethodFVM)积分方程使用控制体积，选择表面和体积积分的近似方法。·将区域离散成有限个控制体积，适用任何形状的网格；·选择未知函数对时间和空间的局部分布曲线（线性或曲线分布）；·对每个CV进行空间（表面、体积）和时间的积分；·整理出关于节点上未知数的代数方程式。特点：适用任何形状的网格，可用复杂几何形状与坐标类型无关提示：网格、积分方程、分布曲线、表面和体积分、