第1章 - 数值计算的基本概念new

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1、1§1数值计算（分析）的对象与特点数值分析：根据实际问题，抽象出数学模型，提出并研究求解的数值计算方法（算法），计算并进行误差分析。认识实际问题为了更具体地说明数值分析数学模型的研究对象，要求(特点)：我们考察用计实际可行、算机解决实际数值计算方法问题时经历的理论可靠、几个过程：计算复杂性好程序设计上机计算结果2认识实际问题观测误差数学模型模型误差数值计算方法截断误差程序设计上机计算结果舍入误差结论：构造算法的基本手段：近似研究算法的核心问题：近似对计算的影响—误差分析3（2）数值计算本身的特点离散化：计算离散点上的近似值；有可靠的理论分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。构造性

2、：方法的构造，解的存在唯一性的证明。递推性：复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）。近似替代：在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代。模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算。4§2误差与有效数字2误差种类与来源(以计算地球表面积可以用公式Ar4为例)模型误差数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差。(地球堪称一个圆)观测误差（或称测量误差）由数据观测产生的误差。(地球半径的测量)截断误差（或方法误差）由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起。(只能截断才能计算)舍入误差计算机实现计算时，机器的有限字长所造成。(计算中的数据

3、舍入)5一、误差的基本概念1.绝对误差定义：设某量的准确值为x，x是x的近似值，称ex()xx为x的绝对误差。若ex()xx，称为x的绝对误差限。即xxx，在应用上常记为xx.例3.14159263.141614e(),e()10.2绝对误差不是误差的绝对值，即e(x可正可负。)通常x是未知的，故e(x未知)，但一般地已知。62.相对误差定义：设某量的准确值为x，x是x的近似值，则称绝对误差xxex与准确值之比ex()()x为的相对误差。rxxxx若exr()xx，称δ为的相对误

4、差限。例：设x1.234,x0.002,x，估计1.233,x0.0011212近似数xx,的绝对误差与相对误差。12解：ex()xx1033，ex()xx10,111222x但是x1是的一个好的近似，x1不是2的一个好的近似。x2331010ex()0.81%，ex()50%.rr121.2340.0027结论:近似数的相对误差是近似数精确度的基本度量，一个近似数的相对误差越小，则近似数越精确。xxex()exr()是一个无量纲的数，exr()xx，x一般是未知的，所以ex()难求。rex()xx考察量ex()rxx

5、*2ex()ex()xex()xex()ex()exrr()ex()xxxx*xx*(*ex())ex()2()(())2xexre(x)较小时0rex()1ex*()1rxxxex()通常将exr()xx作为的相对误差。x相对误差限δ是未知的，但可以确定83浮点数与舍入误差1)浮点数根据国际标准IEEE754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：V=(-1)^a×M×2^s（1）(-1)^a表示符号位，当a=0，V为正；当a=1，V为负。（2）M=d1d2…dt表示有效数字，大于等于1，小于2。（3）2^s表示指数位。例：十进

6、制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，s=2。91)浮点数Matlab中使用IEEE双精度二进制数，用64位存贮一个数对于64位的浮点数，最高的1位是符号位a，接着的11位是指数阶码s，剩下的52位为有效数字M（尾数）。101)浮点数前面说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样

7、做的目的，是节省1位有效数字。IEEE标准的双精度：其中：指数满足：112)舍入误差实数中的绝大部分在计算机上总不能精确表出，总要“舍”或“入”而由一个与之相近的浮点数表示，由此而引起的误差称为舍入误差。真正理解舍入误差，特别是它在算法中的传播及最终对计算结果的影响，是初步具备科学计算能力的重要标志。随着符合运算的发展特别是软件工具的日趋普及，微分的计算有了新的有力工具，但数值微分的地位并没有因此而有任何下降