数值分析1 - 数值计算的基本概念.pdf

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1、第一章数值计算的基本概念引言误差与有效数字算法的稳定性与病态问题作为一小节内容计算机计算的几个问题算法设计的原则§1引言一、数值学科的发展历史及现状历史（经典的工程数学问题）现状科学与工程计算（1）应用广泛边缘学科计算机模拟实验（指纹、人脸识别等，爆炸模拟等）寻求适合计算机计算的方法（2）主要工作误差评估（讨论方法的好坏）特点：（1）应用方面：解决一些不能求得精确解的问题（近似解）抽象性；严密的科学性；应用的广泛性；使用的高技术性（2）数值计算本身的特点离散化：计算离散点上的近似值；有可靠的理论

2、分析；算法理论主要是连续系统的离散化数值求解。构造性：方法的构造，解的存在唯一性的证明递推性：复杂计算过程转化成简单的计算过程的多次重复（适合计算机计算）近似替代：在误差允许的范围内，无限次的计算用有限次计算替代模拟仿真：可通过计算机的仿真实验验证实际的工程计算二、数值分析的研究对象对象——分析实际工程计算问题，由数学模型提出求解的数值计算方法并编程计算出结果，然后进行误差分析。分析实际问题解决现代工程技术问题数学模型的基本过程（如左图）数值分析是研究适合于数值计算方法在计算机上使用的实际可行、理论可靠、计算程序设计复杂

3、性好的数值计算方法。上机计算结果结论：实际工程计算软件的基础是数值计算方法—算法，是数值分析课程研究的核心对象。构造算法的基本手段：近似研究算法的核心问题：近似对计算的影响—误差分析§2误差与有效数字一、误差种类与来源认识实际问题数学模型数值计算方法程序设计舍入误差观测误差模型误差截断误差上机计算求出结果观测误差（或称测量误差）补充例由数据观测产生的误差子说明模型误差数学模型是实际问题的抽象和简化，其间存在误差截断误差（或方法误差）由于问题不能精确求解，近似计算的方法所引起舍入误差计算机实现计算时，机器的有限字长所造成

4、n1x例1n0,1,,8时，求积分yndx的近似值。0x5xn5xn1111解:yn5yn10dxynn5yn1.x5n1dxy0ln6ln50.182(保留3位)3216…0x5111y15y0.09,y5y0.05,y5y0.083,y5y0.165,1022133424311改用：yn15n5yn.选初值：(1)y9y10y90.017;(2)y100y90.020y1y90.019,y1y80.021,y1y70.

5、025,845574056355y1y60.028,y1y50.034,y1y40.043,530542553205y1y30.058,y1y20.088,y1y10.182,21551105055原因——误差的传播与累积失之毫厘,差之千里！二、误差的基本概念(从误差度量上来说)1.绝对误差e(x)xx定义：设某量的准确值为x，x是x的近似值，称为x的绝对误差。x绝对误差限。若e(x)xx，称为的即xxx，在应用上常记为xx.例2电流表、电压表等仪器

6、。例33.14159263.1416e()14e(),10.2绝对误差不是误差的绝对值，即e(x)可正可负。通常x是未知的，故e(x)未知，但一般地已知。2.相对误差定义：设某量的准确值为x，x是x的近似值，称绝对误差与xxe(x)准确值之比er(x)xx为x的相对误差。若er(x)xx,称δ为x的相对误差限。x例4设x1.234，x0.002，x1.233，x0.001，1212估计近似数x、x的绝对误差与相对误差。1233解:e(x1)x1

7、x110，e(x2)x2x210,但x1是x1的一个好的近似，x2不是x2的好的近似.33Why?1010e(x)0.81%，e(x)50%.r1r21.2340.002结论:近似值的相对误差是近似值精确度的基本度量，一个近似值x的相对误差越小，则近似值越精确。xxe(x)er(x)是一个无量纲的数，er(x)xx。e(x)xxx一般是未知的，故exr()难求。考察量er(x)xx*2e(x)e(x)xe(x)xe(x)e(x)e(x)e(x)rrxxxx*x*(x

8、*e(x))e(x)2(x)(e(x))2e(x)较小时rr0e(x)1e*(x)1rxxxe(x)通常将er(x)xx作为x的相对误差。相对误差限δ是未知的，但可以确定三、有效数字定义：设x为