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时间:2018-07-26
《谈简易逻辑中命题的否定》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数学是一门逻辑性很强的学科,学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。《全日制普通高级中学教科书(试验本)数学》的新教材第一册(上)的第一章新增“简易逻辑”内容,介绍一些简单而又实用的逻辑知识,本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系,自觉地使用逻辑规则,避免一些易犯的错误,从而增强判断是非能力和推理能力,提高数学思维能力。 由于新增内容,对于高一新生来说是较为抽象,在理解上尚一定难度,加之资料书上对这方面谈得少,且我们在线教师不熟悉,知识上存在一定缺陷。至此本人根据自已参与新教材的教学实践,谈谈如何来构造比较
2、合理的命题的否定,供师生们参考。 首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”,就构成一个复合命题“非p”(记作“┓P”)称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题,也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假,一假一真,构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型:单称命题的否定即简单命题的否定,存在性命题的否定,全称性命题的否定,复合命题“P且q”、“
3、P或q”的否定。下面一一试述: 1简单命题的否定在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。 例1写出下列命题的否定。 (1)是有理数。 (2)菱形的对角线互相垂直。 (3)N{xR︱x>–2}. (4)方程=1没有实数根。 解:(1)的否定:不是有理数。或者是并非是有理数。 (2)的否定:菱形的对角线不互相垂直。 (3)的否定:N{xR︱x>–2}。 (4)的否定:方程=1有x≠3的实数根。 2复合命题“P且q”;“P或q”形式的
4、否定。 给定命题P、q,用联结词“且”来构成的复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题(也叫联言命题)。记作Pq.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q的析取命题(也叫选言命题)。记作Pq。它的否定可以通过真值表来:(“1”表示真,“0”表示假) PqPqPq┓(Pq)┓(Pq)┓P┓q┓P┓q 11110000 10011001 01011001 00001111 从表可知:┓(Pq)与┓P┓q的真值相同;┓(Pq)与┓P┓q的真值相同,故它们分别是等价命题,因而我们认为“P且q“
5、的否定为:“非P或非q”;“P或q”的否定为“非P且非q”。用符号语言表示: ┓(Pq)=┓P┓q┓(Pq)=┓P┓q 从而知命题“Pq”和“Pq”的否定:既否定命题P,q;又改变联结词。 例2写出下列命题的否定。 (1)a=±5。 (2)f(x)=0既是奇函数又是偶函数。 (3)5是10的约数且是15的约数。 (4)2+2=5或3<2。 (5)AB∥CD (6)a,b都是0。 解(1)的否定:a≠5且a≠–5。(原命题属于P或q型) (2)的否定:f(x)不是奇函数或不是偶函数。(原命题属于
6、P且q型) (3)的否定:5不是10的约数或5不是15的约数。 (4)的否定:2+2≠5且3≥2。 (5)的否定:AB∥CD或AB≠CD。 (6)的否定:“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。 可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。 3复合命题“若P则q”形式的否定。 “若P则q”(记作Pq)型命题的否定实质上较复杂,但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题,是具有真假性的命题,不能区分真假性的命题不作研究。 当语句P和q能判断其真假时就成为命题,那么“若P则q”就是逻辑中的蕴
7、涵关系,其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真,“0”表示假) Pq┓qPq┓Pq┓(Pq)P(┓q)P(┓q) 11011000 10100111 01011001 00111001 从表可知,“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同,故是等价命题。我们就此认为:命题”若P则q”的否定为“P且非q”,且习惯表达为“虽然P,却非q”的形式,或是“尽管P,然而非q”.用符号语言表示: ┓(Pq)=P(┓q)或┓(Pq)=┓(┓Pq)=P(┓q) 例3写出下列命题的否定。 (1)若x
8、2+y2=0,则x,y全为0。 (2)若x=2或x=–1则x2-x-2=0. (3)若集合B真包含集合A,则集合A包含于集合B。 解:(1)的否定:虽然x2+y2=0,但是x和y不全为0。 (2)的否定:虽然x=2或x=–1,但x2-x-2≠0.。 (3)的否定:尽管集合B真包含集合A,然而集合A不包含于集合B。 但在教学中发现有些师生把例3的答
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