谈简易逻辑中命题的否定

《谈简易逻辑中命题的否定》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑的关系和推理论证。《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学》的新教材第一册（上）的第一章新增“简易逻辑”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断是非能力和推理能力，提高数学思维能力。　　由于新增内容，对于高一新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们在线教师不熟悉，知识上存在一定缺陷。至此本人根据自已参与新教材的教学实践，谈谈如何来构造比较合理的命题的否定

2、，供师生们参考。　　首先我们要理解好命题否定“非”的认识。“非”命题是对原命题结论的否定。一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓P”）称为命题的否定。“非P”叫做命题P的非命题，也叫做命题P的否定。“非P”形式的复合命题的真值与原命题P的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。但“非P”绝不是“是”与“不是”的简单演译。《简易逻辑》一节中涉及到命题的否定无外乎下面几种类型：单称命题的否定即简单命题的否定，存在性命题的否定，全称性命题的否定，复合命题“P且q”、“P或q”的否定。下面一一试述： 

3、 1简单命题的否定在逻辑联结词中的最简单命题形式是“P是q”它的否定是“P不是q”或“并非P是q”。其中P是一个特定对象。　　例1写出下列命题的否定。　　（1）是有理数。　　（2）菱形的对角线互相垂直。　　（3）N{xR︱x＞–2}.　　（4）方程=1没有实数根。　　解:（1）的否定：不是有理数。或者是并非是有理数。　　（2）的否定：菱形的对角线不互相垂直。　　（3）的否定：N{xR︱x＞–2}。　　（4）的否定：方程=1有x≠3的实数根。   2复合命题“P且q”；“P或q”形式的否定。　　给定命题P、q，用联结词“且”来构成的

4、复合命题“P且q”叫做命题P、q的合取命题（也叫联言命题）。记作Pq.用联结词“或”来构成的复合命题“P或q”叫做命题P、q的析取命题（也叫选言命题）。记作Pq。它的否定可以通过真值表来：(“1”表示真，“0”表示假)　　PqPqPq┓(Pq)┓(Pq)┓P┓q┓P┓q　　11110000　　10011001　　01011001　　00001111　 从表可知：┓(Pq)与┓P┓q的真值相同；┓(Pq)与┓P┓q的真值相同，故它们分别是等价命题，因而我们认为“P且q“的否定为：“非P或非q”；“P或q”的否定为“非P且非q”。用符

5、号语言表示：　　┓(Pq)=┓P┓q┓(Pq)=┓P┓q　　从而知命题“Pq”和“Pq”的否定：既否定命题P,q;又改变联结词。　　例2写出下列命题的否定。　　(1)a=±5。　　(2)f(x)=0既是奇函数又是偶函数。　　(3)5是10的约数且是15的约数。　　(4)2+2=5或3<2。　　(5)AB∥CD　　(6)a,b都是0。　　解（1）的否定：a≠5且a≠–5。（原命题属于P或q型）　　（2）的否定：f(x)不是奇函数或不是偶函数。（原命题属于P且q型）　　（3）的否定：5不是10的约数或5不是15的约数。　　（4）的否定

6、：2+2≠5且3≥2。　　（5）的否定：AB∥CD或AB≠CD。　　（6）的否定：“a,b不都是0”或者“a≠0或b≠0”。　　可见回应了原命题与其否定命题是一对矛盾命题。　　3复合命题“若P则q”形式的否定。　“若P则q”（记作Pq）型命题的否定实质上较复杂，但在中学数学里所研究的命题都是具有实质性蕴涵关系的命题，是具有真假性的命题，不能区分真假性的命题不作研究。　 当语句P和q能判断其真假时就成为命题，那么“若P则q”就是逻辑中的蕴涵关系，其否定形式不妨用真值表来解决。(用“1”表示真，“0”表示假)　　Pq┓qPq┓Pq┓(

7、Pq)P(┓q)P(┓q)　　11011000　　10100111　　01011001　　00111001　　从表可知，“若P则q”的否定命题真值性与命题“P且非q”相同，故是等价命题。我们就此认为：命题”若P则q”的否定为“P且非q”，且习惯表达为“虽然P，却非q”的形式，或是“尽管P，然而非q”.用符号语言表示：　　┓(Pq)=P(┓q)或┓(Pq)=┓（┓Pq）=P(┓q)　　例3写出下列命题的否定。　　（1）若x2+y2=0，则x,y全为0。　　（2）若x=2或x=–1则x2-x-2=0.　　（3）若集合B真包含集合A，则

8、集合A包含于集合B。　　解：（1）的否定：虽然x2+y2=0，但是x和y不全为0。　　（2）的否定：虽然x=2或x=–1，但x2-x-2≠0.。　　（3）的否定：尽管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合B。　　但在教学中发现有些师生把例3的答