谈一谈命题的否定

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1、谈一谈命题的否定：命题否定是《常用逻辑用语》难点之一。本节介绍几种不同类型命题的否定。包括：简单命题的否定，复合命题“p且q”、“p或q的否定”，“若p,则q”形式命题的否定，特称命题的否定，全称命题的否定。　　关键词：命题；命题否定；复合命题；特称命题；全称命题　　：G633.6：A：1002-7661（2011）12-038-01　　　　　　在数学中，用语言、符号或式子表示的并且能区别真假的语句叫数学命题。命题按能否分解可分为简单命题和复合命题。数学证明中，准确无误地写出一个命题的否定式是十分重要的。由于新增内容，对于高二学生来说是较为抽象，在理解上有一定的

2、难度。所以说写出命题的否定是一个热点，也是一个难点。为了使同学们明明白白地写出命题的否定。下面就谈谈如何来构造比较合理的命题的否定。　　首先要理解好命题否定“非”的认识。对一个命题p加以否定，就得到一个新命题，记作“p”,读作“非p”。称为命题p的否定。非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值为一真一假，一假一真，构成一对矛盾命题。要准确表达命题的否定，就要求我们掌握好一些词语的否定，下面写出一些常用词语和它的否定词语（前面为原词语，后面为否定词语）：　　等于，不等于；大于，不大于；小于，不小于；都是，不都是；至多有一个，至小有两个；至多有n个，至少有n1个；

3、至少有一个，一个也没；任意的，某一个；等等。对于如此多的词语和它的否定词语，我们不需要、也不可能对其一一记忆，只要对否定词语理解透彻，就不易把它们写错。不妨把所有可能的情况作为全集，那么否定词语的情况的集合就是原词语情况的集合的补集。这样就容易验证所写的一对词语是否正确。　　《常用逻辑用语》一章中涉及到命题的否定有这们几类型：简单命题的否定，复合命题“p且q”、“p或q的否定，“若p,则q”形式命题的否定，特称命题的否定，全称命题的否定。下面一一试述：　　1、简单命题的否定　　在逻辑联结词中的最简单命题形式是“p是q”,它的否定是“p不是q”。　　例写出下列命题

4、的否定。　　⑴2是有理数。⑵菱形的对角线互相垂直。⑶方程没有实数根。　　解：⑴的否定：2不是有理数。⑵的否定：菱形的对角线不互相垂直。⑶的否定：方程有实数根。　　2、复合命题“p且q”；“p或q”形式的否定　　用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“p且q”。　　用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作“p或q”。　　“p且q”的否定为:“非p或非q”；“p或q”的否定为:非p且非q。从而知命题“p且q”，“p或q”形式的否定：既否定命题p,q；又该变联结词。　　例写出下列命题的否定。　　⑴3是9的约数或是27的约数。　　⑵

5、集合中的元素是确定的且是无序的。　　⑶2是偶数且是质数。　　解：⑴的否定：3不是9的约数，也不是27的约数。　　⑵的否定：集合中的元素是不确定的或是有序的。　　⑶的否定：2不是偶数或不是质数。　　3、复合命题“若p,则q”形式的否定　　命题“若p,则q”形式的否定为“若p,则非q”。　　例写出下列命题的否定。　　⑴若一条直线与一个圆相切，则圆心到直线距离等于半径。　　⑵若则。　　⑶若a,b都是偶数，则ab是偶数。　　解：⑴的否定：若一条直线与一个圆不相切，则圆心到直线的距离不等于半径。　　⑵的否定：若则。　　⑶的否定：若a,b都是偶数，则ab不是偶数。　　4、含

6、量词命题的否定　　数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些、“某一个”、“至少有一个”等词语。在逻辑中分别称为全称量词和存在量词；有这样的量词构成的命题成为全称命题与特称命题。那么它们的否定又怎么样？　　⑴全称命题的否定：将全称量词该为存在量词，再否定它的性质，全称命题的否定是特称命题。　　⑵特称命题的否定：将存在量词该为全称量词，再否定它的性质，特称命题的否定是全称命题。　　例写出下列命题的否定。　　⑴每个二次函数的图像都向下。⑵某些实数的绝对值是正数。⑶存在，。　　解：⑴的否定：有些二次函数的图

7、像开口向上。　　⑵的否定：所有实数的绝对值都不是正数。　　⑶的否定：任意。　　总之，如何正确地表达一个命题的否定是常用逻辑用语中的难点之一。在写一个命题否定时，务必理清各类型命题形式结构，才能真正准确地完整地表达出命题的否定。