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《数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、数列极限类1.证明:.证因为又,由迫敛原理得.2.设,证明有极限,并求此极限的值.证由均值不等式得,即有下界.又,即单调减,于是存在,且由极限的保号性可得.对已知递推公式,令和极限的唯一性得,解得(负根舍去),即有.单调性的证明也可如下完成:,或.3.设,试证数列存在极限,并求此极限.证由知,.假设,则,由归纳法知为单调下降数列.又显然有,所以有下界.由单调有界原理知,数列收敛.所以可令,对两边取极限得,解得或(舍去),故.4.设,当时,有且.求证极限与存在且等于.证由得,由迫敛原理得,再由及可得存在且等于.5.设.
2、求证:(1)与均有极限;(2).证因为,所以,即单调减少有下界,而,即单调增加有上界.所以与都收敛.在两边取极限得.6.设,且,求证收敛且.证因为,对给定的,当时,有,所以,当时,有,由迫敛原理得.闭区间上连续函数的性质7.证明方程在内至少有一个根.证令,则在上连续,且,,即.由根的存在性定理得至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个根.8.证明方程至少有一个小于的正根.(10分)证令,则在上连续且,由闭区间上连续函数的零点存在定理,，使得.9.设函数在上连续,且满足.若在上能取到负值,试证明:(1),使得;(2)在
3、上有负的最小值.证由条件可设且,由,存在使得,由根的存在性定理,得,使得.(1)得证.(2)由,存在使得当时,有.又在上连续,故,使得.而当时,,故对有.所以结论成立.10.设为正整数,为个实常数,且.求证多项式函数在内至少有两个零点.证因为,又,所以存在,使得,又在和上都连续,由根的存在性定理,和,使得,所以,结论成立.11.设,求的表达式,并指明的间断点及其类型.解:,所以为第一类可去间断点;为第二类无穷间断点.12.设在上连续,且满足,求证:,使得.证明:令,则在上连续,.由连续函数的零点定理,必存在,使得,故
4、使得.13.设是上的连续函数,且满足条件.证明存在,使得.证明:令,则在上连续,且,.若,则存在或使得.若与都不为零,则由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14.设函数在上连续,且满足,若存在,使得,求证:(1)使得;(2)在上有负的最小值.证明:(1)因为,由函数的局部保不等式性,存在充分大的(不妨设),使得时,有,所以当时,在上连续且,由连续函数的零点存在定理,存在使得.(2)又在上连续,故由最值定理,存在,使当时,,而,且时,.所以在上有负
5、的最小值.15.设,若,求证.证法1（用导数定义）因为.又,所以,所以.证法2（用重要极限1）所以.导数与微分证明16.设证明:在处可微;在处不可微证因为,所以函数在处可导,由可导与可微的关系知在处可微;又当时,,而极限不存在,故在处不可导,由可导与可微的关系知在处不可微;17.设存在,证明:证:18.设为内的可导函数,周期为.求证:也是以为周期的函数.证明:因为,所以也是以为周期的函数.中值定理的应用19.设,证明多项式在内至少有一个零点.证作辅助函数,则在闭区间满足罗尔中值定理的三个条件,故存在使得,故在内至少有
6、一个零点.20.设都是可导函数,且,证明当时,证因为严格单调增.当时,.又由柯西中值定理得,存在使得.21.对任意的,有,且等号只在时成立.证明:令存在,使得,而,当且仅当时,所以结论成立.22.设在上连续,在内可导,且满足,求证:存在,使得.提示:令,用罗尔中值定理可证.23.设函数在上连续,在内二阶可导,连结点与点的直线交曲线于点,其中.证明:存在,使得.证因为三点共线,所以.在及上分别应用中值定理得:存在,使;存在,使,即.由于二阶可导,故函数在区间上满足罗尔中值定理的条件,故,使得.24.设,证明不等式:.提
7、示:在上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25.设,证明不等式.26.设,证明不等式.证将要证的不等式变形为,令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,于是使得,又由与在上的连续性与单调性可得,所以,故要证的不等式成立.27.已知在的某邻域内有二阶连续导数,且,证明:存在唯一的一组实数,使当时,是比高阶的无穷小量.证法1（洛比达法则）令,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到(2)因为,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28.设函数在内可导,且及都存在.证明.证当时,由条件知,函数在区间上连续可导,故,使得.
8、因为及都存在,所以=.29.证明;当时,证令,则.令,所以在内单调增,则当时,,从而,所以在内单调增,则当时,.用单调性证明不等式30.证明;当时,证令,,当时,,所以在内单调增,故当时,因而得在内单调增,故当时,.31.设,证明不等式:.32.设，证明不等式。证明：令，则，且，于是在区间上严格单调增，故当时，，即，故。用最值证明不等式33.证
