两直线的夹角案例(张丽丽)

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时间:2018-07-25

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1、“学生更多参与课堂”给我带来的惊喜《两直线的夹角》教学案例一、教学内容分析:本节内容安排在两直线位置关系的第二节,是在〈三角函数〉内容后,是对角的概念的进一步深化,是三角函数知识的应用,同时,作为平面解析几何的一个内容,也是初中平面几何知识的延伸。二、学情分析对高二的学生来说,已学过平面几何,三角函数等知识,有一定观察分析、解决问题的能力,但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度,因此思维灵活性受到制约。根据以上特点,教师恰当引导,提高学生学习主动性,多加以前后知识间的引导,带领学生直接参与分析问题、解决问题的过程,并品尝劳动成果带

2、来的喜悦。三、教学目标:1.让学生从已有的几何知识出发,引导学生通过观察,猜想,明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义。2.通过对直线不同位置的探究,掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式;3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角。4.通过对实际问题的探索,培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力,增强学生的协作能力和交流能力,发展学生的创新意识,培养创造性思维的能力。5.通过学生自主探索、合作交流,亲身体验数学规律的发现,培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质,增强学习的成功心理,激发学习数

3、学的兴趣。6.培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法,通过平面几何、角的概念、三角函数等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。四、教学重点:到角和夹角概念的理解;五、教学难点:直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式的得出。六、教学用具:多媒体、直尺、量角器七、教学过程一、开门见山,引出课题上一节课,我们一起研究了两条直线的平行与垂直这两种特殊的位置关系,得出了两直线平行与垂直的充要条件,这一节,继续研究两直线相交情况下形成角的问题.二、师生共析,合作探究1.小试牛刀----直线l1到l2的角的定义师:两直线相交可以形成

4、四个角,它们有何关系?生1:两条直线l1和l2相交构成四个角,它们是两对对顶角。如图中的θ1、θ2.还是互补的两个角。师:我们应当把哪个角定义为l1到l2的角呢?-5-生2:定义那个较小的角吧。师:你能说一说理由吗?生2:只要研究了一个角,另一个角也可由互补得出。师:非常好!生2已经给出了与定义非常接近的“定义”。我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角,叫做l1到l2的角.师:为什么要逆时针?哪位同学能解释其中的原因?生3:在角的概念中,逆时针形成的角是正角,这样研究起来较简便。师:好!这位同学具有数学家的思维,很有潜力

5、!在右图中,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2.特殊地,当直线l1⊥l2时,直线l1和l2的夹角是π/2.说明:直线l1与l2相交时,θ1>0,θ2>0,且θ1+θ2=π在这个环节中,由学生观察两直线相交时形成的角,结合以往学习的经验猜想“到角”和“夹角”分别是哪个角,学生通过前后知识的联系非常合情的推测角的定义,这样做比直接给出定义让学生去记忆效果要好。2.大刀阔斧----直线l1到l2的角的公式:.师:刚才定义了,直线l1到l2的角是θ1,l2到l1的角是θ2,现在想得到这两个角有多大,怎么办?你需要什么工具或提供什么

6、条件?生4:我有量角器的话,可以直接量出角的大小。师:这种方法非常简便,但这样做误差较大,与个体差异有关。有其它方法吗?生5:前面已经学习了直线的方程,我们已知两直线的倾斜角便可得出直线l1到l2的角θ了。,由图(1)和图(2)分别可知θ=α2-α1或θ=π―(α1-α2)师:很棒,由已知两直线的倾斜角便可得出直线l1到l2的角θ了。这位同学由图(1)和图(2)的建系方式将两条直线放置,得到角θ,还有其它建系方法吗?在这个环节中激发学生的主动参与热情,发扬学生的创新精神,让学生两直线的放置方式,结果让我感到惊喜。学生作出了不同的直线位

7、置关系:有的将交点落在原点,有的将其中一条直线与坐标轴平行或重合,有的将原点落到其中一条坐标轴上。通过实物投影将学生的作图情况进行展示,充分显示了学生参与课堂带来意想不到的效果,学生动脑了,参与了,就会有成果。这些在课前并没有想到。生6:如果有两直线的斜率存在,也可以通过角的三角函数值间接得到角。师:好,我们设两直线的斜率为k1、k2,求l1到l2的角的θ,生6(板演):设已知直线的方程是l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2.如果1+k1k2=0,即k1k2=-1,则θ=π/2如果1+k1k2≠0,设l1、l2的倾斜角分别是

8、α1和α2,则tanα1=k1,tanα2=k2.由图(1)和图(2)分别可知-5-θ=α2-α1或θ=π―(α1-α2)=π+(α2-α1)∴tanθ=tan(α1-α2)或tanθ=tan[π+(α2-α1)]=ta

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