高考第一轮复习数学:9.7空间向量及其坐标运算(b)

高考第一轮复习数学:9.7空间向量及其坐标运算(b)

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时间:2018-07-25

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1、9.7空间向量及其坐标运算(B)●知识梳理1.若=xi+yj+zk,那么(x,y,z)叫做向量的坐标,也叫点P的坐标.2.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2),a·b=x1x2+y1y2+z1z2,cos〈a,b〉=.3.设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),则

2、M1M2

3、=.4.对非零向量a与b,有a∥ba=kb;a⊥ba·b=0.●点击双基1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),如果a与b为共线向量,则A.x=1,y=1B.x=,y=-C.x=,y=-D.x=-,y=解析:∵a=(2x,1

4、,3)与b=(1,-2y,9)共线,故有==.∴x=,y=-.应选C.答案:C2.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙述中正确的个数是①点P关于x轴对称点的坐标是P1(x,-y,z)②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2(x,-y,-z)③点P关于y轴对称点的坐标是P3(x,-y,z)④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z)A.3B.2C.1D.0解析:P关于x轴的对称点为P1(x,-y,-z),关于yOz平面的对称点为P2(-x,y,z),关于y轴的对称点为P3(-x,y,-z).故①②③错误.答案:C3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且

5、ka+b与2a-b互相垂直,则k值是A.1B.C.D.解析:ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2).∵两向量垂直,∴3(k-1)+2k-2×2=0.∴k=.答案:D4.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是_________.解析:=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),cos〈,〉===-,∴θ=〈,〉=120°.答案:120°5.已知点A(1,2,1)、B(-1,3,4)、D(1,1,1),若=2,则

6、

7、的值是__________.解析:设

8、点P(x,y,z),则由=2,得(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),即则

9、

10、==.答案:●典例剖析【例1】已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量.即∴n=(,-1,1),单位法向量n0=±=±(,-,).解:设面ABC的法向量n=(x,y,1),则n⊥且n⊥,即n·=0,且n·=0,即2x+2y+1=0,4x+5y+3=0,特别提示一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,可把n的某个坐标设为1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量,故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有

11、两解.【例2】在三棱锥S—ABC中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=,SB=.(1)求证:SC⊥BC;(2)求SC与AB所成角的余弦值.解法一:如下图,取A为原点,AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系,则有AC=2,BC=,SB=,得B(0,,0)、S(0,0,2)、C(2,,0),=(2,,-2),=(-2,,0).(1)∵·=0,∴SC⊥BC.(2)设SC与AB所成的角为α,∵=(0,,0),·=4,

12、

13、

14、

15、=4,∴cosα=,即为所求.解法二:(1)∵SA⊥面ABC,AC⊥BC,AC是斜线SC在平面ABC内的射影,∴SC⊥BC.(2)如下图,过点C作CD

16、∥AB,过点A作AD∥BC交CD于点D,连结SD、SC,则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形,CD=,SA=2,SD===5,∴在△SDC中,由余弦定理得cos∠SCD=,即为所求.特别提示本题(1)采用的是“定量”与“定性”两种证法.题(2)的解法一应用向量的数量积直接计算,避免了作辅助线、平移转化的麻烦,但需建立恰当的坐标系;解法二虽然避免了建系,但要选点、平移、作辅助线、解三角形.【例3】如下图,直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1、A1A的中点.(1)求的长;(2)求cos

17、〈,〉的值;(3)求证:A1B⊥C1M.(1)解:依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),∴||==.(2)解:A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),∴=(1,-1,2),=(0,1,2),·=3,||=,||=.∴cos〈,〉==.(3)证明:C1(0,0,2),M(,,2),=(-1,1,-2),=(,,0),∴·=0,∴A1B⊥C1M.深化拓展根据本题条件,还可以求直线AC1与平面A1

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