用样本估计总体的方法与对策

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1、用样本估计总体的方法与对策山东省济宁一中高三数学组　贾广素（邮编：272100）电话：13053744397　　统计学是应用数学的重要组成部分，是研究、调查其他问题乃至其他学科的“开路先锋”，具有极高的基础性和应用价值，其基本思想方法是用样本估计总体。本文从几个方面出发，谈一谈用样本估计总体基本题型及其解决策略。　　一．图形信息题　例1．有一个容量为100的某校毕业生起始月薪的样本，数据的分组及各组的频数如下：起始月薪（百元）[13,14)[14,15)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20)[20,21)频数7112623158

2、46（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；（2）画出频率分布直方图和累积频率分布图；（3）根据累积频率分布估计该校毕业生起始月薪低于2000元的概率；解：（1）样本的频率分布表为：（2）频率分布直方图和累积频率分布图如下：（3）起始月薪低于2000元的频率为0.94，故起始月薪低于2000元的概率为0.94。注：正确理解题设条件中所给出的各个量的意义，读表与识图掌握信息是解决这类问题的关键。频率分布指的是一个样本数据在各个小范围内所占的比例的大小。一般用频率分布直方图反映样本的频率。特别说明：（1）频率分布直方图中的纵轴表示，频率＝；（2）频率分布直方图中

3、，各小长方形的面积之和等于1，因此在频率分布直方图中，组距是一个固定值，所以长方形高的比就是频率之比；（3）频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，而后者直观；（4）众数是最高距形的中点；（5）中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横坐标的直线与横轴的交点。二．用样本频率分布估计总体分布例2．下表给出了某校120名12岁男孩的身高资料.（单位：cm）区间界限［122，126）［126，130）［130，134）［134，138）［138，142）人数58102233区间界限［142，146）［146，150）［150，154）［154

4、，158）人数201165（1）.列出样本的频率分布表（含累计频率）；（2）.画出频率分布直方图和累计频率分布图；（3）.根据样本的频率分布图，估计身高小于134cm的人数约占总人数的百分比.分析：题目要求列出样本的频率分布表和画出频率分布直方图，应注意到已知中虽未提供原始数据，但组距、组数及频数都已给出.同时题目要求将累计频率及累计频率分布图一并给出.解：（1）.频率分布表如下.区间人数人数频率累计频率［122，126）5［126，130）8［130，134）10［134，138）22［138，142）33［142，146）20［146，150）11［150

5、，154）6［154，158）51（2）频率分布直方图和累计频率分布如图（图1）（图2）（3）由图（2）估计，身高小于134cm的学生数约占总数的19%.注：总体分布反映了总体在各个范围内取值的概率，利用样本的频率分布，可以近似地估计总体分布，利用样本在某一范围的频率，可近似地估计总体在这一范围内的概率（一般说来，样本容量越大，这种估计就会越精确）。对于每一组样本取其一代表值（一般取其中值），近似地看作离散型的随机变量，可以近似地估计出其总体均值（事实上，很多情况下总体的平均值、期望、方差都不容易获得，所以我们也常常利用样本的平均值近似地估计总体平均值，利用样

6、本的方差近似地估计总体的方差）。特别说明：解决总体分布的一般程序为：当总体中所取不同的数值较少时，常利用条形图表示相应样本的频率分布，否则，常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布。具体步骤为：（1）先确定分组的组距（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率；（3）画出频率分布直方图并作出相应的估计。例3。对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.寿命（h）100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～400h

7、以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例.解：（1）样本频率分布表如下.寿命（h）频数频率100～200200.10200～300300.15300～400800.40400～500400.20500～600300.15合计2001（2）频率分布直方图如下.图2－2－12（3）元件寿命在100h～400h以内的在总体中占的比例为0.65.（4）估计电子元件寿命在400h以上的在总体中占的比例为0.35.三．用样本的数字特征估计总体的数字特征例4．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：15，21，25，3

8、1，36，39，31，45，36，48