2018版高中数学北师大版选修1-1学案第二章 3.1 双曲线及其标准方程

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1、2017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案3．1　双曲线及其标准方程学习目标　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一　双曲线的定义思考1　如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？　　思考2　已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的

2、轨迹是什么图形？(1)

3、－

4、＝6；(2)－＝6.　　　　122017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案梳理　把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于

5、F1F2

6、)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作________________，两个焦点之间的距离叫作________________．知识点二　双曲线的标准方程思考1　双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？　　　　　思考2　如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使

7、OB

8、＝b吗？　　　

9、　　　类型一　双曲线的定义及应用命题角度1　双曲线中的焦点三角形问题例1　(1)如图，已知双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，122017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案线段AB经过双曲线的右焦点F2，

10、AB

11、＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为________．引申探究本例(2)中若∠F1PF2＝90°，其他条件不变，求△F1PF2的面积．(2)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的

12、面积为________．反思与感悟　求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出

13、

14、PF1

15、－

16、PF2

17、

18、＝2a；②利用余弦定理表示出

19、PF1

20、，

21、PF2

22、，

23、F1F2

24、之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想求出

25、PF1

26、·

27、PF2

28、的值；④利用公式S△PF1F2＝×

29、PF1

30、·

31、PF2

32、sin∠F1PF2求得面积．(2)方法二：利用公式S△PF1F2＝×

33、F1F2

34、×

35、yP

36、(yP为P点的纵坐标)求得面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件

37、

38、

39、PF1

40、－

41、PF2

42、

43、＝2a的变形使用，特别是与

44、PF1

45、2＋

46、PF2

47、2，

48、PF1

49、·

50、PF2

51、间的关系．跟踪训练1　已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，

52、PF1

53、＝2

54、PF2

55、，则cos∠F1PF2等于(　　)A.B.C.D.命题角度2　由双曲线定义求轨迹方程例2　已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，B(－1,0)，C(1,0)，求满足sinC－sinB＝sinA的顶点A的轨迹．　　　　122017-2018学年高中数学北师大版选修1-1学案反思与感悟　定义法求双曲

56、线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题．(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．跟踪训练2　已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)A.－＝1(x≥)B.－＝1C.－＝1D.＋＝1类型二　求双曲线的标准方程例3　求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)焦距为26，且经过点M(0,1

57、2)；(3)过点P(3，)，Q(－，5)，且焦点在坐标轴上．　　　　反思与感悟　待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴．(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式．①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；②与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．122017-2018学年高中数学北师大

58、版选修1-1学案跟踪训练3　根据条件求双曲线的标准方程．(1)c＝，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；(2)经过点P(4，－2)和点Q(2，2)；(3)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且过点(，4)．　　　　　类型三　由双曲线标准方程求参数例4　已知曲线－＝1.(1)当曲线为椭圆时，求m的取值范围，并写出焦点坐标；(2)当曲线为双曲线时，求m的取值范围，并写出焦点坐标．　　　　　　反思与感悟　(1)对于方程＋＝1，当mn