2018版高中数学人教b版选修2-2学案:3.2.1 复数的加法与减法

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案3.2.1 复数的加法与减法明目标、知重点1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.1.复数加法与减法的运算法则(1)设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.(2)对任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).2.复数加减法的几何意义如图:设复数z1,z2对应向量分别为1,2,四边形OZ1ZZ2为平行四边形,则与z1+z2

2、对应的向量是,与z1-z2对应的向量是.[情境导学]我们学习过实数的加减运算,复数如何进行加减运算?我们知道向量加法的几何意义,那么复数加法的几何意义是什么呢?62017-2018学年人教B版高中数学学案探究点一 复数加减法的运算思考1 我们规定复数的加法法则如下:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.那么两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?答 仍然是个复数,且是一个确定的复数.思考2 复数加法的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?类比于复数的加法法则,试着给出复数的减法法则.答 实质是

3、实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.思考3 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?并试着证明.答 满足,对任意的z1,z2,z3∈C,有交换律:z1+z2=z2+z1.结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).证明:设z1=a+bi,z2=c+di,z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z2+z1=(c+a)+(d+b)i,显然,z1+z2=z2+z1,同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).例1 计算:(1)(1+2i)+(-2+i)+(-2

4、-i)+(1-2i);(2)1+(i+i2)+(-1+2i)+(-1-2i).解 (1)原式=(1-2-2+1)+(2+1-1-2)i=-2.(2)原式=1+(i-1)+(-1+2i)+(-1-2i)=(1-1-1-1)+(1+2-2)i=-2+i.反思与感悟 复数的加减法运算,就是实部与实部相加减做实部,虚部与虚部相加减作虚部,同时也把i看作字母,类比多项式加减中的合并同类项.跟踪训练1 计算:(1)2i-[(3+2i)+3(-1+3i)];(2)(a+2bi)-(3a-4bi)-5i(a,b∈R).解 (1)原式=2i-(3+2i-3+9i)=2i-11i=

5、-9i.(2)原式=-2a+6bi-5i=-2a+(6b-5)i.探究点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应,你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗?答 如图,设,分别与复数a+bi,c+di对应,则有=(a,b),=(c,d),由62017-2018学年人教B版高中数学学案向量加法的几何意义+=(a+c,b+d),所以+与复数(a+c)+(b+d)i对应,复数的加法可以按照向量的加法来进行.思考2 怎样作出与复数z1-z2对应的向量?答 z1-z2可以看作z1+(-z2).因为复数的加法可以按照向量的加法来进行.所以可以按

6、照平行四边形法则或三角形法则作出与z1-z2对应的向量(如图).图中对应复数z1,对应复数z2,则对应复数z1-z2.例2 如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.解 (1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法,体现了数形结合思想在复数中的运用.跟踪训练2 复数z1=1+2i,z

7、2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.62017-2018学年人教B版高中数学学案解 设复数z1,z2,z3在复平面内所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,y∈R),如图.则=-=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,=-=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.∵=,∴(x-1)+(y-2)i=1-3i.∴,解得,故点D对应的复数为2-i.探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知

8、z1

9、=

10、z2

11、=

12、z1-z2

13、=1,求

14、z1+z2

15、

16、.解 方法一 设z1=a

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