02第二讲 导数及其应用(34=76)

《02第二讲 导数及其应用(34=76)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二讲导数及其应用问题2.1导数、微分的概念例题1.选择C，理由如下：函数在点处可导，即存在；但是，极限存在函数在点处可导，例如在点处，，但是函数在点处不可导.2.选择B，理由如下：在可导存在，故A不对；.3.【用特例法】选择D，理由如下：设，但是，，在处极限不存在，故排除A，B，C.4.【涉及不等式条件的极限问题，通常用夹逼准则】选择C，理由如下：当时，恒有，故又，77，即，故是的可导点，且.5.，，，，，，，当时，，在处可导.习题1.【利用导数定义求增量比的极限】在点可导，即存在，故.2.【可导必连续】选择B，理由如下：在处存在左、

2、右导数在点左、右连续在点连续.3.，，，当时，，在处可导，当时，，在处不可导.4.选择C，理由如下：在处连续但不可导，不存在，存在，即存在，77，故是在处可导的充分条件；在处可导存在，即存在，故是在处可导的必要条件.5.选择B，理由如下：，在可导存在（）和（）存在且相等.6.由题设知存在，故，，且，故.问题2.2如何求曲线的切线、法线方程？例题1.【求切线，关键是确定切点与斜率】，77切点为，斜率为，故曲线在点处的切线方程为.2.曲线的参数方程为，，将代入，得切点，切线的斜率，所求切线方程为，即.习题1.，，切点为，斜率，切点为，故切线

3、方程为.2.，，切点为，斜率，故切线方程为.3.方程两边对求导，，将代入上式，得，斜率，故切线方程为，即.4.，；，.由题设知，，，，解得，切点为.5.，即，所以曲线在点处切线斜率为.77，故，所以曲线在点处切线斜率为.问题2.3求导公式与法则问题2.4如何求函数的导数（或者微分）？例题1.【初等函数的导数，熟练掌握求导公式与求导法则】，，，故.2.【抽象函数的导数】，.3.【隐函数的一、二阶导数，用两边求导法，注意是的函数】方程两边对求导，得⑴将代入⑴，得；⑴式两边对求导，得，⑵将代入⑵，得..4.【隐函数的一阶导数，用隐函数求导公式

4、：由方程确定，则】由确定，77.5.【参数式的导数，用参数式求导公式】，.6.【反函数的导数，利用反函数求导公式和复合函数求导法则】，上式两边对求导，；上式两边再对求导，.7.【参数式、隐函数的导数】，，方程两边对求导，得，故.8.【抽象函数、隐函数的导数】，，方程两边对求导，得，⑴将代入⑴式，得，⑴式两边对求导，得，⑵将代入⑵式，得，77故，.9.【考查相关变化率】设长方形的对角线为，则，上式两边对求导，得，即，将代入上式，得.习题1.，故.2.，，故.3..4.，5.【考查导数】等式两边对求导，得，再对求导，得，由得，，，故.6.方

5、程两边对求导，得，77令，得，即，解得.7.【考查隐函数的导数】方程两边对求导，得，当时，，代入上式，得.8.【求隐函数一阶导数，用公式法或者两边求导法】，.9.【求隐函数二阶导数，用两边求导法】取对数，得，⑴⑴式两边对求导，得，整理得，解得，，⑵将代入⑵，得.10.【求参数式二阶导数，用公式法】，.11.，，，故12.，上式两边对求导，，代入方程77，得，即13.【考查参数式求导和微分方程】，，，令，则，代入上式，得，，，将代入，得，故，即，，将代入，得，故.14.（略）问题2.5如何求分段函数的导数例题1.时，，，，故在连续.2.时

6、，；77，故在连续，又在连续，所以在上连续.3.，，要使在上可导，只要在可导.在可导在连续，即，在可导，即，所以，当时，在上可导.习题1.时，，，故77，故在连续，用在连续，所以在连续.2.要使在上可导，只要在上可导.在上可导在上连续，即，即，即，在上可导，即，，，故.3.存在，，在连续，在连续，即，在连续，即，，即，故.4.【关键是分段点】令，得，不存在，，77不存在，故有且仅有两个不可导点.问题2.6哪些情形要用定义求导？例题1.（方法一）（方法二）设，其中，，2.【函数方程通常利用求导化为微分方程，本题没有可导条件，只能用定义求导

7、】，，，又，故.▲若条件改为“函数在内可导”，则可以方程两边对求导，得，令，得，解得.习题1.，，.2.【只能用定义】.问题2.7如何求函数的阶导数？例题1.（方法一：归纳法），77，，故.（方法二：莱布尼茨公式）令，则，.2.【用分解法】，，令，得，令，得，故，.问题2.8微分中值定理例题11.【研究函数与导函数的关系，通常用中值定理，本题用特例法较为简便】选择D，理由如下：，，排除A，C，，，排除B.▲证明如下：，，当时，有，2.【研究函数与导函数的关系，通常用中值定理，本题用特例法较为简便】选择B，理由如下：，，，排除C，D，又，

8、，，不存在，排除A.▲证明如下：用反证法设，不妨设，则，当时，有，，与有界矛盾.773.【研究函数与导函数的关系，通常用中值定理】选择C，理由如下：取，则，，若在内有界，则，有，，即在内有界.例题21.令，