浅析 利用二次函数的最值解题

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1、浅析利用“二次函数”的最值解题随县一中杨福军关键词：二次函数，轴，区间，最值。引言：在高中数学中，有很多的题是通过讨论“二次函数”的最值来到达解题目的的，且此题型是高考的热点之一，因此，教师在教学中应给予重点关注，并指导学生学会此类型题的讨论方法。仔细分析不难发现，此类题型不外乎“轴定域定”﹑“轴变域定”﹑“轴定域变”﹑“轴变域变”等四种题型。就各种题型浅析如下：一：“轴定域定”的题型例1：求函数的最小值解析：此题为无理函数，解法很多。此题的通常想法是化“无理”为“有理”，即令(),则原函数可化为：()即原题化成了“轴定（对称轴为：）域定（）”的

2、二次函数的讨论问题，数形结合一下，解起来就不难了。解：函数的定义域为即令（）可解得：所以，原函数可化为：7第7页共7页∵（如图1的实线部分）∴当时，y取最小值所以二：“轴变域定”的题型例2：当函数y=sin²x+2acosx-a-的最大值为1时，求a的值。解析：本题利用三角函数的平方关系转化为二次函数的形式并不难，很容易化成：y=-(cosx-a)²+a²-a-此二次函数的自变量为cosx，是有界的，即令t=cosx,则是确定的，即“域定”，但其对称轴为：t=a是变化的，即“轴变”。讨论时，只要注意轴和区间的关系，通过数形结合，很容易求出函数的最

3、大值，从而由题意求出a的值。解：y=sin²x+2acosx-a-=-cos²x+2acosx-a-=-(cosx-a)²+a²-a-令t=cosx则∵∴∴原函数可化为：y=-(t-a)²+a²-a-()①当a＜-1时，由函数图像（如图2的实线部分）易得，当t=-1时，函数y取得最大值，且=-（-1-a）²+a²-a-=-a-由题意可得：a-=1解得：a=-1应舍去。7第7页共7页②当-1≤a≤1时，由函数图像（如图3的实线部分）易得，当t=a时，函数y取得最大值，且=a²-a-由题意可得：a²-a-=1解得：a=-1或a=应舍去。③当a＞1时，

4、由函数图像（如图4的实线部分）易得，当t=1时，函数y取最大值，且=-（1-a）²+a²-a-=a-由题意可得：a-=1解得：a=(1,+)综上可得：a=-1或a=三：“轴定域变”的题型例3：设椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为，已知点P(0,)到这个椭圆上的点最远距离为，求这个椭圆的方程。解析：由椭圆的离心率e=可得：a=2b，若设M(x,y)7第7页共7页是椭圆上的任意一点，M与P的距离设为d则有：d²=x²+(y-)²∵M(x,y)在椭圆上，由椭圆的方程可得：x²=a²-∴d²=a²-y²+(y-)²=-3y²-3y+4b²+=-3(

5、y+)²+4b²+3即得关于y的二次函数，因为点M在椭圆上，所以-b≤y≤b是变化的区间，即“域变”，而其对称轴是：y=-是确定的，即“轴定”。讨论时注意其中b是椭圆的短半轴，值恒正，同时注意数形结合，就可解决此题。解：设椭圆的方程为：（a＞b＞0）由e==得a=2b且有：x²=a²-设M(x,y)是椭圆上的任一点，M与P的距离为d则有：d²=x²-=-3y²-3y+4b²+=-3(y+)²+4b²+3∵M点在椭圆上，∴-b≤y≤b①当-b≤时，即b≥时，由函数图像（如图5中的实线部分）易得：当y=时，d²取最大值，即因为b＞0所以，解得：b=1

6、此时，a=2满足条件：a＞b＞07第7页共7页②当＜-b＜0即0＜b＜时，由函数图像（如图6的实线部分）易得：当y=-b时，d²取最大值，即=-3b²+3b+4b²+=(b+)²解得：b=-或b=∵b=＜0且b=∴都应舍去。综上可得：a=2b=1因此，所求椭圆的方程为：即四：“轴变域变”的题型例4：已知y²=4m(x-m)(m＜0)，求u=(x-3)²-y²的最小值。解析：首先找到u关于x的表达式，即u(x)=[x-(3+2m)]²-12m此函数是关于x的二次函数，其对称轴为：x=3+2m是变化的，即“轴变”，又由y²≥0m＜0可得：x-m≤0∴

7、x≤m也是变化的，即“域变”，解此类型的题，应注意“字母”的范围和轴与区间的关系，数形有机结合，便可解。解：由已知可得：u(x)=(x-3)²-4m(x-m)=[x-(3+2m)]²-12m∵y²≥0m＜0∴x-m≤0即x≤m所以u(x)=[x-(3+2m)]²-12m(x≤m)7第7页共7页①当3+2m＜m即m＜-3时，由函数图像（如图7中的实线部分）易得，当x=3+2m时，u(x)取得最小值，此时u(3+2m)=-12m②当3+2m≥m即-3≤m＜0时，由函数图像（如图8中的实线部分）易得，当x=m时，u(x)取得最小值，此时=u(m)=(m

8、-3)²综上可得：=7第7页共7页总之，利用二次函数的最值解题时，应注意：其对称轴及自变量的取值是否变化；数形有机结合，根据轴及区间的情