中学数学竞赛讲座及练习（第1讲）有理

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1、第一讲 有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用　　　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．　　例1计算：　　　　　　分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也

2、是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．　　　　　　　　注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．　　例2计算下式的值：　　211×555+445×789+555×789+211×445．　　分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．　　解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)　　　　　=211×(555

3、+445)+(445+555)×789　　　　　=211×1000+1000×789　　　　　=1000×(211+789)　　　　　=1000000．　　说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．　　例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．　　分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．　　解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n

4、+1·n．　　下面需对n的奇偶性进行讨论：　　当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有　　　当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有　　　例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？　　分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之

5、后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．　　所以，所求最小非负数是1．　　说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．　　2．用字母表示数　　我们先来计算(100+2)×(100-2)

6、的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．　　于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①　　这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．　　例5计算3001×2999的值．　　解3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8999999．

7、　　例6计算103×97×10009的值．　　解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99999919．　　例7计算：　　　分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347．可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，　　即原式分母的值是1，所以原式=24690．　　例8计算：(2+1)(22+1

8、)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．　　分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．　　解原式=(2-1)(2+1)(22+