中学数学竞赛讲座及练习（第42讲）+函数[1]

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1、第四十二讲函数的最大值与最小值  我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．　　　1．一次函数的最大值与最小值　　　一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．　　例1设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．　　　　　　　　大值a．　　　　　　　例2已知x，y，z

2、是非负实数，且满足条件x＋y＋z=30，3x+y-z=50．　　求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．　　分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．　　解从已知条件可解得y=40-2x，z=x-10．　　所以　　u=5x＋4y+2z　　＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)　　　=-x+140．　　又y，z均为非负实数，所以　　　　　　　　　　　　　　　解得10≤x≤20．　　由于函数u=-x＋140是随着x的增加

3、而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．　　　　2．二次函数的最大值与最小值　　　例3已知x1，x2是方程x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0　　　　解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，　　　　　　　　　　例4已知函数　　　有最大值-3，求实数a的值．　　　解因为　　　　　的范围内分三种情况讨论．　　　　　-a2＋4a-1＝-3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例5已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3

4、－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．　　　解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积S=xy，2≤X≤4．　　易知CN=4-x，EM=4-y，且有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值　　　　例6设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(

5、x)的解析式和p的值．　　解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，　　所以p2＋16p+13=30，p=1(p=-17舍去)．　　由于f(x)在x=1时有最大值5，故设f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，　　所以　　　　g(x)=x2+16x+13-f(x)　　　　　　=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．　　由于g(x)的最小值是-2，于是　　　解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．　　　3．分式函数的最大值与最小值　　法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范

6、围，进而定出y的最大值和最小值．　　　　解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．　　△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，　　解得　　　　　-4≤y≤1．　　时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．　　说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．　　　　解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．　　因x是实数，故△=(-a)2-4·y·(y-b)≥0，　　　　由题设知，y的最大值为4，最小值为

7、-1，所以(y+1)(y-4)≤0，　　即　　　　　　　　　　　　　　　　　y2-3y-4≤0．　　②　　由①，②得　　　　　　　　　　　所以a=±4，b=3．　　　4．其他函数的最大值与最小值　　　处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．　　　　解先估计y的下界．　　　又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．　　说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：　　　但无论x取什么值

8、时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．　　例10设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．　　分析先