抛物线的几何性质学案2

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1、第11课时　抛物线的几何性质(2)　教学过程一、数学运用【例1】　若点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,P是抛物线上一动点,求当PA+PF取得最小值时点P的坐标.[1](见学生用书P35)[处理建议]　显然,无法直接求PA+PF的最小值,问题需要转化.引导学生先画图、分析、讨论,再借助于抛物线的定义将PF转化为PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段”解决问题.[规范板书]　解　如图,过点P向准线作垂线,垂足为Q,则由抛物线的定义可知PF=PQ,(例1)所以PA+PF=PA+PQ.于

2、是,问题转化为求当PA+PQ取得最小值时点P的坐标,即在抛物线上求一点P,使其到点A和准线的距离之和最小.由点到直线距离的最小性可知,其最小值是过点A向准线x=-作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度.所以当PA+PF最小时,点P的纵坐标为2,从而得点P的坐标是(2,2).[题后反思]　借助于抛物线的定义将PF等量转化为PQ是求解本题的关键,这样的转化在抛物线问题中随处可见,需掌握.变式　已知P是抛物线y2=4x上一个动点,F是其焦点.若点B的坐标为(3,2),求PB+PF的最小值.[规范板书]　解　

3、如图,过点P作PC垂直于准线,垂足为C,则由抛物线的定义可知PC=PF,所以PB+PF=PB+PC.(变式)过B作BQ垂直于准线,垂足为Q,则由点到直线的最短距离是垂线段知,PB+PC≥BQ=4.故其最小值为4.(例2)【例2】　求抛物线y2=4x上一动点P到点A(-1,1)的距离与它到直线x=-1的距离之和的最小值.(见学生用书P36)[处理建议]　先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,再根据图形求解.[规范板书]　解　设动点P到直线x=-1的距离为d,抛物线的焦点为F

4、,则由抛物线的定义知PF=d,F(1,0).于是有PA+d=PA+PF≥AF==,当且仅当P,A,F三点共线时“=”成立,因此距离之和的最小值为.[题后反思]　先利用定义将距离进行转化,再利用不等式PA+PF≥AF解决最值问题.【例3】　在抛物线y2=2x上求一点P,使其到直线l:x+y+4=0的距离最小,并求最小距离.[2](见学生用书P36)[处理建议]　先引导学生画图、分析,再对比讨论各种解法.[规范板书]　设P(x,y)为抛物线y2=2x上任意一点,点P到l的距离为d,则d=.解法一　令t=

5、x+y,设直线x+y=t与抛物线y2=2x有公共点.由得y2+2y-2t=0.令Δ≥0,可得t≥-,所以x+y+4≥,故d≥=,即dmin=.当且仅当x+y=-时,d取最小值.由解得即当点P的坐标为时,d有最小值.解法二　由平面区域知识可得x+y+4>0,故d=.又x=,故d==≥=.当y=-1时,x=.即当点P的坐标为时,d有最小值.解法三　设直线l':x+y+m=0与抛物线相切,则平行线l'与l间的距离即为抛物线上的点到直线l的最小距离.由得y2+2y+2m=0,所以Δ=4-8m=0,得m=.此

6、时直线l'的方程为x+y+=0,l与l'的距离为d==.由得即当点P的坐标为时,d有最小值.[题后反思]　解法一,通过对x,y的二元一次代数式的换元,将其转化为直线,进而将条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”,降低了思维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点到直线的距离公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直观性,借助于切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时,应用广泛,需认真体会、熟练掌握.*【例4】　定长为3的线段AB的端点A,B

7、在抛物线y2=x上移动,求线段AB的中点M横坐标的最小值,并求出此时点M的坐标.[3][处理建议]　本题可引导学生回归抛物线定义,借助定义转化问题.[规范板书]　解　如图,设F是抛物线y2=x的焦点,连结AF,BF,过点A,B,M分别作AC,BD,MN垂直于准线,垂足分别为C,D,N,则MN=(AC+BD).(例4)根据抛物线定义得AC=AF,BD=BF,所以MN=(AF+BF)≥.设点M的横坐标为x,则MN=x+,所以x=MN-≥-=.等号成立的条件是弦AB过点F,由于

8、AB

9、>2p=1,所以AB

10、过焦点是可能的.此时点M到y轴的最短距离是,即AB的中点M的横坐标为.当F在AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,从而(y1+y2)2=++2y1y2=2×-=2,即y1+y2=±,所以此时AB的中点M的纵坐标为±.所以点M的坐标为时,点M到y轴的距离最小,最小值为.[题后反思]　(1)在直角坐标系中,常将点的坐标与相应线段的长(或距离)相互转化.如本题,将点M的横坐标转化为点M到y轴的距离是解本题的关键.(2)本题利用抛物线定义构造直角