高等数学(上)期末复习指导(华农)

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1、高等数学（上）期末复习指导本学期我们学习了《高等数学》（上册）的第一至第五章，内容为一元函数微积分学．根据本科生对该课程的教学要求，按章编写了期末复习指导，供同学们复习时参考．第一章函数与极限本章重点：函数的定义域，求利用四则运算求函数的极限，连续的定义、分段函数在分段的极限、连续性的求法，两个重要极限、等价无穷小（一）函数的概念主要考点：会求函数的自然定义域（使解析式表示函数的式子有意义的自变量的取值范围）（重点）；会判断函数的奇偶性。例若是连续的奇函数，证明是偶函数．例（填空题）函数的定义域是　　　　　　　．　解　　．例的定义域是__

2、_____例的定义域是_______54例的定义域是_______（二）数列的极限　1.数列极限的定量定义：对恒成立，则称数列的极限是常数，记作　　　或　．注：利用定义证明数列的极限不做要求　2.收敛数列的性质(了解)．　3.数列收敛的判别定理：准则Ⅰ夹逼准则（会用）准则Ⅱ单调有界数列必有极限（记住）（三）函数的极限2.左、右极限：（重点）3.极限的局部保号性（记住）．　（四）无穷小与无穷大　　1.无穷小　（1）定义：以零为极限的变量称为无穷小量．　（2）无穷小的阶（比较）　　（3）无穷小的运算性质　特别是：有界函数与无穷小之积为无穷小．

3、（重点）　　求极限时时，可用无穷小替换（重点）　　记住几个等价无穷小（重点）：～～～～～～理解：当时，上面的所有的可以换成，其中表示一个关于的表达式　　2.无穷大：绝对值无限增大的变量叫无穷大.　　无穷小与无穷大的关系：非零无穷小的倒数为无穷大，反之，无穷大的倒数为无穷小（记住）.54　（五）两个重要极限（重点）　　第一个重要极限：是的未定式，它的标准形式是　　　　第二个重要极限：是的未定式，它的标准形式是　　　　注意：这里，即它们互为倒数．练习求极限练习：求极限练习：求极限练习：求极限练习：设,则练习：（六）函数的连续性1.三个等价定义

4、：其中主要掌握，则称函数在点处连续．（重点）连续要点：⑴、在点无定义；⑵、不存在；⑶、存在，但.54若为的间断点，当及都存在时，称为的第一类间断点，特别＝时（即存在时），称为的可去间断点；时称为的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。　　函数在区间连续的定义．初等函数在其定义域内是连续的．　　2.闭区间上连续函数的性质　　①有界性　②最值定理　③零点定理（会用零点定理）　　3.函数的间断点及其分类（会判断间断点的类型）　　主要考点：①讨论分段函数在分段点处的连续性（重点）.　　②求极限:初等方法和罗比达法则（重点）.练习：函数

5、的间断点是例．在点处连续，求常数k.分析与解：由于分段函数在分段点的左右两边表达式相同，因此在连续的充要条件是∵∴例：函数在点处连续，常数k=____.练习：已知函数在连续，则注意:求函数的极限时一看自变量的变化过程，二看函数的变化趋势54.如各项的极限都存在（定式）时用四则运算法则即可求出它们的极限；如果遇到有理分式出现未定式时，可先消去不定因子后化为定式，然后求出极限，这叫求极限的初等方法（还可利用连续性和无穷小替换法）；对型的未定式则使用罗必达法则．　　　例填空题：函数的垂直渐近线是　　复习：，则直线是函数的水平渐近线；　　　　，则

6、直线是函数的垂直渐近线.解　，故为垂直渐近线.　例填空题：设　在处连续，则＝　　4　　　.　解　　　　由于在处连续，即，即例设是在时取非负的连续函数，试求常数　　　　　　，在上连续．解：显然是分段点，。要使在上连续，需有因此使得。例单项选择题：当时，下列变量中（　　）是无穷小量．　　　　　　　　　　　　；　　　　　；　　　　　　　．　解　为无穷小，，即为有界变量，因而它们54　之积为无穷小），故选.　例单项选择题：设在处连续，则　　）　　　　　　　　　　解　原式＝，故选.　例填空题：要使函数在处连续，则需定义　　的值为　　　　　　.　　解

7、　　　　　＝．　例求极限　　解　　原式（由于为无穷大，为无穷小，，即为有界变量，故为无穷小）例求极限　　解　原式（第一个重要极限）例求极限　　解　原式54　　　或（＝　例求极限　　　解　原式＝　例　　解　原式　例求极限　　　解　原式例证明：函数在（-1，2）之间至少有两个零点.　　证明　在闭区间上连续，　　　　　　　　　　　　　　因此　，由闭区间上连续函数的零点定理知，使得即在（-2，2）之间有两个零点.　　　　　　　　　　　　第二章　　导数与微分一、复习重点：　复合函数的求导、分段函数在分段点的导数的求法、复合函数导数、微分的计算、隐函

8、数的求导、参数方程求导　（一）导数的概念　　1.函数在一点的导数与导函数的定义的理解（重点）：54　　　（导数是函数的差，自变量的差之比的极限，即差商的极限，平均变化率的极限）由于函数在一点的