.数列的通项公式与求和

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1、第二节数列的通项公式与求和考纲解读掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法.能在具体的问题情境中，识别数列的等差和等比关系，抽象出模型，并能用有关知识解决相应的问题.命题趋势探究从内容上主要考查：等差和等比数列与其他知识点的综合运用，用数列知识解决实际问题；从递推公式中构造等差或等比数列，并求出其通项公式.从考查形式和能力上看，有选择题、填空题、解答题.其中以解答题为主，且难度较大.在解题过程中往往要用到函数与方程思想、化归思想与分类讨论思想.从命题趋势上看，主要有数列与方程、不等式、函数、解析几

2、何的综合题，以概率为背景结合计数原理考查数列知识及数列建模的应用题.知识点精讲基本概念（1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.（2）数列的第项与项数之间的函数关系，可以用一个公式来表示，那么就是数列的通项公式.注：①并非所有的数列都有通项公式；②有的数列可能有不同形式的通项公式；③数列的通项就是一种特殊的函数关系式；④注意区别数列的通项公式和递推公式

3、.题型归纳及思路提示题型85数列通项公式的求解思路提示常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用与的关系求解.观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.利用递推公式求通项公式①叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得②叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法.利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，

4、求出观察法观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者部分.②考虑各项的变化规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列.例6.20写出下列数列的一个通项公式：（1）（2）2,22,222，，；（3）数列中各项为：12,1122,111222，，，分析：通过观察，找出所给数列的特征，求出其通项.解析：（1）①原数列

5、中的数的符号一正一负，故摆动数列乘以；②绝对值后分子分母无明显的规律，但通过对偶数各项分子分母同乘以2，可使分子出现规律为3,4,5,6，，则.解法一：解法二：原数列即（3）变式1将全体正整数排成一个三角形数阵，如下所示，则第行（）从左到右的第3个数为__________12345678910变式2观察下列等式：，，可以推测，当时，，，，利用递推公式求通项公式叠加法数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和例6.21已知数列满足，且，求数列的通项公式.分析：式子是形如的形式，故利用叠

6、加法求和.解析：可得，（），相加可得：（），且也满足上式，故变式1已知数列中，，，求数列的通项公式变式2已知数列中，，，则____A、B、C、D、变式3已知数列中，，，且，（，）（1）设，证明：是等比数列.（2）求数列的通项公式变式4数列中，，（为常数），且成公比不为1的等比数列.（1）求的值；（2）求数列的通项公式2、叠乘法数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式例6.22已知数列中，，，则数列的通项公式为（）A、B、C、D、分析：数列的递推公式是形如的形式，故

7、可以利用叠乘法求解.解析：由变形得，从而，，，故（）即（），所以（，），且满足上式，故（），选B变式1已知数列中，，，求数列的通项公式3、构造辅助数列法（1）待定系数法形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解.也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项.例6.23已知数列中，，，求的通项公式.分析：式子形如（为常数，且），故利用构造法转化.解析：解法一、设等价于，得到，对应，得到故原递推式等价于，因此数列为首项为，公比为的等比数列，所以，故解法二、由得（，），因此（，

8、），所以数列是首项为，公比为的等比数列.叠加得到：故（）变式1已知，（，），求的通项公式.例6.24在数列中，，（），求数列的通项公式.分析：将原递推公式转化为，即，比较，得，，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，故，即（）2、同除以指数形如，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为，同类型（1）.例6.25已知数列中，，（，），求数列的通项公式.解析：解法一、将两边同除以得，则，则解法二、将两边同除以得，令，得，构造，得