处理抽象函数的基本处理方法

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1、处理抽象函数的三板斧哈尔滨新东方全科中心郑仕建首先，我们来看这样一个例题：例：定义在上的函数，对任意的实数，恒有，且当时，．又．（1）求证：为奇函数；（2）求证：在上是减函数；（3）求函数在上的值域。解：1）令x=y=0，由得+=，所以=0。令y=-x,得，所以，所以定义在上的奇函数。2）令x10.因为x>0,<0,所以。所以，所以在上是减函数；3）由2）得由，得，所以，故在上的值域为。其实，这么一个问题就是我们学生非常熟悉的抽象函数问题，抽象函数问题可以非常地道的考察出我们的学生对于函数基本概念、函数基本性

2、质的理解层次。这类问题，我们通常三步走：1）求解某些特殊函数值。我们最常遇到的问题是求解诸如等等，一般这一步骤中的求解是必不可少的（why见步骤2），对于其他特殊值的求解一般都带有强烈的暗示性，只要我们的学生稍加注意，一般不会有太大的问题。这一步最常用的技巧：令。本例中第一问求解特殊函数值的过程中就采用了这两个技巧；1）判定函数的奇偶性。说到这里，可能我们的学生都已经会理解了，为什么我们在步骤1中一般要求。因为我们判定函数奇偶性分成两步来进行：首先，判定函数的定义域是否关于原点对称，这一点一般我们不用操心；其次，判定的关系。这一步

3、的关键就是让我们的已知式中出现，而这里有一个非常显然也最常用的关系：，通常套入我们的已知式，稍加整理就会得到我们想要的结果。在本例奇偶性的证明中就用到了这一技巧；判定函数的单调性。首先，我们来解释为什么要判定单调性。因为抽象函数问题的第三问通常是求解一个抽象不等式，比如说，只是比如说：，我们通常的思路是这样的:通过第一步特殊函数值的求解我们可能只是可能会知道了，那么我们的不等式就会转化为，如果我们又知晓了单调性，那就可以不费吹灰之力将一个抽象不等式化为具体不等式了。当然，对于本例中是求值域，对于抽象函数值域的求解方法中最好使的就是

4、单调法，所以无论第三问以何种形式出现，都将指引我们走向证明函数单调性胜利之路；其次，我们来解释，为什么单调性放在奇偶性之后。是不是题目的求解顺序决定的？可以很负责任的告诉各位同学，肯定不是这样。这个问题实际上是由逻辑顺序来决定的。我们判断单调性的基本步骤是：在定义域内取值、作差、判断差的正负、下结论。这里，最常用的技巧就是通过得到的关系，对于我们可以通过奇偶性转化为，再借助于其他的已知条件，判断出的关系，最终得出单调性。2）判定函数的周期性。对于现行的考试又出现了新情况，就是很多时候直接告诉我们函数的奇偶性和单调性，而需要我们借助

5、于题目其他已知信息判断出函数的周期性，然后利用周期性求出某些非常复杂的函数值。对于这种新情况，没有一种万全的方法帮助我们将革命进行到底，但是某些常用的结论还是有必要简单谈一下。首先，周期函数的定义。对于定义域内任意都有，那么就是周期函数，而就是函数的一个周期，这是我们努力的一个方向；其次，如果根据我们的知识我们能够判断函数的图像有两条对称轴，那么我们就可以知道这个函数的周期是；还有，就是如果函数的图像有一个对称中心和一条对称轴也可以判断出这个函数具备周期性，具体的周期需要我们根据具体的题目去求解。实事求是的讲，这个例题还算是简单，

6、但是“麻雀虽小，五脏俱全”，这样一个题目非常完整的展现了我们处理抽象函数的经典步骤，对于其他更复杂的问题，事实上，一般是换汤不换药，基本的框架就是这样，只不过需要我们同学处理某些细节时更加的灵活，更加谨慎。同学们可以自己处理下面的练习题：1.设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.2.已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称图形，且满足，，则的值为（）、1、2、、3.（2005广东卷）设函数在上满足，，

7、且在闭区间［0，7］上，只有．（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．