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时间:2018-07-19
《圆锥曲线方程-椭圆(知识点、典型例题、考点、练习)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、椭圆典例剖析知识点一 椭圆定义的应用 如图所示,已知椭圆+=1(a>b>0)内一点A,F1为左焦点,在椭圆上求一点P,使
2、PF1
3、+
4、PA
5、取得最值.解 设F2为椭圆的右焦点,且直线AF2与椭圆相交于P1、P2两点,点M是不同于点P1、P2的椭圆上的任意一点.根据椭圆的定义知:
6、P1F1
7、+
8、P1F2
9、=2a,所以
10、P1F1
11、+
12、P1A
13、=
14、P1F1
15、+
16、P1F2
17、+
18、F2A
19、=2a+
20、F2A
21、.①在△AMF2中,
22、MA
23、<
24、MF2
25、+
26、F2A
27、.所以
28、MF1
29、+
30、MA
31、<
32、MF1
33、+
34、MF2
35、+
36、F2A
37、.因为M是椭圆上任意一点,
38、所以
39、MF1
40、+
41、MF2
42、=2a,所以
43、MF1
44、+
45、MA
46、<2a+
47、F2A
48、.②由式①、②知
49、MF1
50、+
51、MA
52、<
53、P1F1
54、+
55、P1A
56、.
57、P2F1
58、+
59、P2A
60、=
61、P2F1
62、+
63、P2F2
64、-
65、AF2
66、=2a-
67、F2A
68、.而在△AMF2中,
69、MA
70、>
71、MF2
72、-
73、F2A
74、,所以
75、MF1
76、+
77、MA
78、>
79、MF1
80、+
81、MF2
82、-
83、F2A
84、=2a-
85、F2A
86、,所以
87、MF1
88、+
89、MA
90、>
91、P2F1
92、+
93、P2A
94、.由以上可知,点P1是使
95、PF1
96、+
97、PA
98、取得最大值的点,而点P2是使
99、PF1
100、+
101、PA
102、取得最小值的点.知识点二 求椭圆的标准方
103、程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),且椭圆经过点(5,0).(2)经过点A(,),B(0,-).(1)解 方法一 椭圆的焦点在x轴上,设其标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆定义知:2a=+=10,所以a=5.又c=4,所以b2=a2-c2=25-16=9.故椭圆标准方程为+=1.34方法二 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),因为c=4,所以a2-b2=c2=16.又椭圆经过点(5,0),所以+=1,所以a2=25,所以b2=25-16=9,所以椭圆的标准方程为+=1.(2
104、)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时,设标准方程为+=1(a>b>0),依题意有解得又因为a>b,所以该方程组无解.②当椭圆焦点在y轴上时,设标准方程为+=1(a>b>0).依题意有解得所以方程为+=1.综上知,所求椭圆的标准方程为:+=1.方法二 设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),依题意有解得所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1,即其标准方程为+=1.知识点三 根据方程研究几何性质 求椭圆25x2+16y2=400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标.解 将方程变形为+=1,得a=5,b=4,所以c
105、=3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a=10,2b=8,离心率e==,焦点坐标为(0,-3),(0,3),顶点坐标为(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0).知识点四 根据几何性质求方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是6,离心率是.(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.解 (1)设椭圆的方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0).由已知得2a=6,a=3.e==,∴c=2.∴b2=a2-c2=9-4=5.34∴椭圆方程为+=1或+=1.(2)设椭圆方程为(a>b>0).如
106、图所示,△A1FA2为一等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且
107、OF
108、=c,
109、A1A2
110、=2b,∴c=b=3,∴a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为,知识点五 求椭圆的离心率 如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),则△MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中:
111、F1F2
112、2+
113、MF2
114、2=
115、MF1
116、2,即
117、4c2+b2=
118、MF1
119、2.而
120、MF1
121、+
122、MF2
123、=整理得3c2=3a22ab.又c2=a2b2,所以3b=2a.所以,所以所以e=知识点六 直线与椭圆的位置关系问题 当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144相切、相交、相离.解 由题意,得①代入②,得9x2+16(x+m)2=144,34化简,整理,得25x2+32mx+16m2-144=0,Δ=(32m)2-4×25×(16m2-144)=-576m2+14400.当Δ=0时,得m=±5,直线l与椭圆相切.Δ>0时,得-5124、0时,得m<-5,或m>5,直线l与椭圆相离.知识点七 中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求l的方程.解 设l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减,得kAB==-=-=-.∴
124、0时,得m<-5,或m>5,直线l与椭圆相离.知识点七 中点弦问题已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求l的方程.解 设l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减,得kAB==-=-=-.∴
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