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1、“康奈尔序列”初探华东师大二附中薛峰雷指导教师施洪亮摘要本文主要讨论并探索了康奈尔序列。最基本的特征是首先求出了数列的通项公式，然后推导、证明了康奈尔序列的若干条性质，接着利用迁移的方法将康奈尔序列的公式、性质等内容进行了推广，从而得到了广义康奈尔序列的定义及一些性质，特别是它与多边形数的关系。这些成果将有助于人们更好地了解、学习康奈尔序列。利用工具将数与项数的比值求出，然后将之归纳，探索出通项的求法以及通项公式。并用图形计算器验证。利用参数表示康奈尔数列，并归纳研究数列与其它数列的关系。并利用康奈尔
2、数列的通项公式表示一部分数列。并借此探索出了它的前n项和的公式。关键词康奈尔序列（ConnellSequence）通项参量多边形数前n项和1.0引言在《天才设题，智者解题》[4]一书中有这样的题目：对于数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16, 17……，设若第n项为Sn，则Sn/n的值具有什么特征？初步尝试后，发现该值可能无穷接近于常数2。这个很有意义，于是这个数列引起了关注。初步查询文献资料后发现，该数列是著名的康奈尔序列。康奈尔序列（ConnellSequence）又被称为“阿克乐斯.
3、拉卡塔克”(印度)。1959年，IanConnell[1]介绍给公众一个很有趣的数列。（nonn,easy,nice,tabl,new）（如今以其名字命名）：1,2,4,5,7,9,10,12,14,16, 17……康奈尔序列作为数学奥林匹克竞赛试题已经在国内外出现。但是，少有人去注意过这一数列，因此对于康奈尔序列的了解仍是很少。上世纪九十年代后，又有DouglasE.IannucciandDonnaMills-Taylor的《关于广义的康奈尔序列》（OnGeneralizingtheConnellS
4、equence）[2]GaryE.Stevens的AConnell-LikeSequence[3]，以及许多相关的研究成果。此外还有相当一部分益智丛书上提到过康奈尔序列。2.0探索过程及结论（1）通项公式的探求先利用图形计算器将康奈尔序列的前几项列出，数表记录如下：项数1234567891011……值1245791012141617……在TI-83上画出图象，可以得到下图。其中，纵坐标代表了值Un，单位是2。横坐标代表项数n，单位1。11图：仔细观察康奈尔序列，不难发现:该序列连续奇数或连续偶数之间的
5、公差为2,奇偶之间相差1。而奇偶的项数依次分别是1，2，3，4，……假设正处于奇偶之间的前一项，则。即递推公式是：当时，，当时，。所以第n项前，奇偶变化了m次（0到1也算一次），则Un=2n-m。奇偶分别在1，2，4，7……项，发生变化。即任意奇偶数列比前一奇偶数列项数大1。因此奇偶变化的多少取决于n的大小。方法1：若m达到最大值，使,则奇偶改变了m次.此时,,即,m为小于的最大整数,则Un=2n-.然而,稍加检验,n=4时,Un=6而不是5.方法2：再次归纳数列,可以得到如下的规律:…………N为右图
6、中项数,m为左列中1,2,3,4……故易知:如果,则一共改变了m项.11所以,m的取值范围是.,又，所以m为小于的最大整数.当为整数时,,亦为整数,即：当且仅当n=1时,有.当时,所以当为整数时,当不是整数时,易知,任意奇数平方可用8n+1表示,所以整数,所以.所以，简单的康奈尔序列的通项公式是再求取，可以得到以下的表格：111.251.51.5……11n123456789……还未能看出递变的规律，将项数增加至18项：同样，再增加项数，比值不断接近一常数。所以可以验证：的值确实无限接近2。（2）含参量
7、的广义的康奈尔序列研究GeneralizedConnellSequence[2]2.2.1参数k的引进康奈尔序列ConnellSequence的所有数被分为奇偶两类，如果将奇偶两类换成被3整除，被3除余1（mod3），余2(mod3)呢？则又会出现新的序列，象这类序列我们称之为广义的康奈尔序列，用符号Ck表示。k代表了在序列的同一部分中，任意连续两项的差值。项数 SubsequenceNumber:项Subsequence:1122，536，9，12…………表（1）类似于4.1的证明。将2换成k则可以
8、得到：11（此例即，k=B=3时）当然，此时，很易得到。当然，。（）2.2.2参数r的引进如果按照表1，那么在每一行中的项数比前一行的项数增加为r，那么可以得到相类似的一个数列,它也被称为广义的康奈尔序列。在这里，r代表了康奈尔序列不同的两个分序列之间的项数的差值。项数 SubsequenceNumber:项Subsequence:（Sn）1122，5，839，12，15，18，21422，25，28，31，34，37，40…………这是当k=3,r=2时
