资源描述：
《第十六章多元函数的极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数1.判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域？并分别指出它们的聚点与界点：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.解（1）该点集是有界集，也是区域.但不是开集又不是闭集.其聚点为中的任一点.界点为矩形的四条边上的任一点.（2）该点集为开集，不是有界集也不是区域.其聚点为平面上任一点.其界点为两条坐标轴上的任一点.（3）该点集为无界闭集，不是开集也不是区域.其聚点与界点均为两条坐标轴上的任一点.（4）该点集为开集且为区域，不是有界集.其聚点为平面上满
2、足的任一点.其界点为上的所有点.（5）该点集为有界开集，是区域.其聚点为平面上满足任一点.其界点为上的所有点.（6）该点集为有界闭集，不是区域.其聚点与界点均为平面上满足或任一点.（7）该点集为有界闭集.其聚点为平面上满足或的任一点.其界点为满足或的任一点.133（8）该点集为无界的闭集.没有聚点，其界点为平面上均为整数的任一点.（9）该点集为非开非闭的无界集.其聚点为,界点为集合.2.试问集合与集合是否相同？解所给两个集合不相同.因为第一个集合挖去了两条线段及，而第二个集合只挖去了一个点.3.证明：当且仅当存在各点互不相同的点列时，是
3、的聚点.证充分性若存在互不相同的点列时，则对任给的，总存在正整数，使得时，有.当充分大时，含有的无穷多个点.又，从而中含有中无穷多个点，即是的聚点.必要性若是的聚点，则对任给的，中必含有中的点.取，则中含有中的点，记为；.取，则中含有中的点，记为,显然.依次类推，取，则有中含有中的点，记为，显然各不相同；这样继续下去，就得一个点列且.4.证明：闭域必为闭集.举例说明反之不真.证设为闭域，则有开域使，（1）其中为的边界.设，则且.由133知，对任意，，其中为的余集.由于，从而存在，使.下证.（2）若不然.则存在，于是当充分小时，.由于，从
4、而中含有的点.于是.这与前面的结论矛盾.因此（2）为真.由（1）知故不是的聚点.这就证明了：若是的聚点，则.因此为闭集.5.证明：点列收敛于的充要条件是和.证充分性设，.则对任给的，存在正整数，当时，有，因此故点列收敛于.必要性设点列收敛于.则对任给的，存在正整数，当时，有即，从而.同理.6.求下列各函数的函数值：（1），求；（2），求；133（3），求.解（1）原式；（2）；（3）.7.设，证明：若，则.证因为，且，所以.8.求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（
5、7）；（8）；（9）；（10）.133解（1）函数的定义域为是无界开集.见16—1；（2）函数的定义域为是无界开集.见图16—2；（3）函数的定义域为是无界闭集.见图16—3；图16—3图16—4（4）函数的定义域为是无界闭集.见图16—4；（5）函数的定义域为是无界开集.见图16—5；（6）函数的定义域为133是无界闭集.见图16—6；（7）函数的定义域为是无界开集.见图16—7；（8）函数的定义域为整个实平面是无界既开又闭集.图16—7（9）函数的定义域为整个三维空间，是无界既开又闭集.（10）函数的定义域为是有界既不开又不闭集.9
6、.证明：开集与闭集具有对偶性——若为开集，则为闭集；若为闭集，则为开集.证设为开集，但不是闭集.则由闭集定义知，至少有一个聚点不属于.设这个聚点为，则必有.因为为开集，所以存在点的某邻域，使.因此中不含有中的点.这与是的聚点矛盾.因此若为开集，则为闭集.设为闭集，但不是开集.则由开集定义知，至少有一个点不是的内点.设这个聚点为，则根据内点定义知，对点的任何邻域，都有内不含于中的点.即中含有中的点.由于这与是闭集矛盾.因此若为闭集，则必为开集.10.证明：（1）若为闭集，则与都为闭集；（2）若为开集，则与都为开集；（3）若为闭集，为开集，
7、则为闭集，为开集.证（1）若为闭集，则为开集，由（2）知与都为开集.从而及均为闭集.而因此与都为闭集；133（2）设为开集，对任意，有或.不妨设，则存在点的某邻域，使得，从而有.因此为开集；设，则有且.由于为开集，则存在点的某邻域，使得，也存在点的某邻域，使得.因此存在点的邻域，（其中）使得,因此为开集;（3）若为闭集，为开集，由9题知为开集,为闭集.又,,从而由（1）,(2）知为闭集，为开集.11.试把闭区域套定理推广为闭集套定理，并证明之.推广为闭集套定理:设为中的闭集列,且满足(1);(2).则存在惟一的一个点,.证任取点列,.由
8、于因此从而.由定理16.1可知,必存在使得.任意取定,对任何自然数有.由于为闭集,且,所以作为的点或为其聚点,必定属于.即().下证惟一性:若还有()则133得到,故.12.证明定理16.4（有限覆盖定理）
