数值分析课程设计三次样条插值

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1、郑州轻工业学院《数值分析》课程设计报告题目：水箱水流量问题姓名：赵威威院（系）：数学与信息科学学院专业班级：信科11-01班学号：541110010159指导教师：汪远征时间：2013年12月30日至2014年1月4日摘要（摘要是论文内容的简短陈述，一般不超过200字。）随着城镇化的发展，水资源的分配与管理成为城市发展的核心问题，高效合理地分配水资源成为评价水厂的重要指标。对自来水厂在尽可能短的时间内准确对水塔水流量的预测在高规格的用水管理机构中越来越成为至关紧要的一个环节，对城镇化的发展也具有极其重要的意义。分析该问题运用曲线插值和曲线拟合两种方法建立数

2、学模型，对水流量的估计问题进行求解是重要的解题方法。整个模型求解程序均是在MATLAB2010中运行的。关键字：城镇化、水流量、曲线插值、曲线拟合、MATLAB2010目录摘要21理论基础41.1问题重述42算法分析52.1功能分析52.2算法分析62.2.1拉格朗日插值法62.2.2三次样条插值72.2.3最小二乘法的计算方法113程序设计123.1选单和主窗口设计123.2模块设计224总结225参考文献24I1理论基础1.1问题重述许多供水单位由于没有测量流入或流出水箱流量的设备，而只能测量水箱中的水位。试通过测得的某时刻水箱中的水位的数据，估计在任

3、意时刻（包括水泵灌水期间）流出水箱的流量。给出原始数据表（如表1），其中长度单位为E（1E=30.24cm），水箱为圆柱体，其直径为57E。假设：(1)影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需要；(2)水泵的灌水速度为常数；(3)从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度；(4)每天的用水量分布都是相似的；(5)水箱的流水速度可用光滑曲线来近似；(6)当水箱的水容量达到514.8Kg时，开始泵水；达到677.6Kg时，停止泵水。表1时间(s)水位(10–2E)时间(s)水位(10–2E)031754463633503316311049953326066

4、35305453936316710619299457254308713937294760574301217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254泵水2335932泵水82649泵水39332泵水8596834753943535508995333974331834459327033401.2需求分析通过对水流速进行估计，越是正确的估计将节省各方面额外的开销，在相同的资源配置下获取最大的利润。2算法分析2.1功能分析本文问题所指流量

5、可视为单位时间内流出水的体积，一天的时间为0到23.88小时止（即忽略第3未供水时段）。由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，所以在水泵不工作时段，流量很容易根据水位相对时间的变化算出。问题的难点在于如何估计水泵供水时段的流量。水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量经插值或拟合得到。作为用于插值或拟合的原始数据，我们希望水泵不工作时段的流量越准确越好。这此流量大体上可由两种方法计算，一是直接对表1中的水量用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量；二是先用表中数据拟合水位一时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。有了任何时刻的流量，就

6、不难计算一天的总用水量。其中，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，由表1中下降水位乘以水搭的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检验数据插值或拟合的结果。符号说明t：测量的时刻；23h：水位的高度；v：水塔中水的体积；模型假设假设一：流量只取决于水位差，与水位本身无关，故由物理学中Torriceli定律：小孔流出的液体的流速正比于水面高度的平方根。题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.1648m（设出口的水位为零）因为sqrt，约为1，所以可忽略水位对流速的影响。假设二：将流量看作时间的连续光滑函数，为计算简单，不妨将流量定义成单位时间流

7、出水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），水塔截面积为,得到结果后乘以s即可.假设三：水泵工作起止时间由水塔的水位决定。水泵工作时不维修，也不中途停止工作。水泵冲水的水流量远大于水塔的水流量。假设四：表1中水位数据取得的时间准确在1秒之内。假设五：水塔的水流量与水泵状态独立，并不因水泵工作而增加或减少水流量的大小。2.2算法分析通过上面各项功能的分析、分类、综合，按照模块化程序设计的要求，得到模块结构（作为后面选单设计的主要依据2.2.1拉格朗日插值法假设取区间上的n+1个结点，并且已知函数f(x)在此点的函数值xx0x1x2…xn23f(x

8、)f(x0)f(x1)f(x2)…f(xn)现在求一个次数不超过n