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1、《数值分析》课程设计三次样条插值算法院（系）名称信息工程学院专业班级09普本信计1班学号090111073学生姓名宣章然指导教师孔繁民2012年06月08日数值分析课程设计评阅书题目三次样条插值学生姓名宣章然学号090111073指导教师评语及成绩指导教师签名：年月日答辩评语及成绩答辩教师签名：年月日教研室意见总成绩：教研室主任签名：年月日课程设计任务书2008—2009学年第二学期专业班级：09普本信计1班学号：060111060姓名：宣章然课程设计名称：数值分析设计题目：三次样条插值完成期限：自2012年
2、6月8日至2012年6月13日共1周设计依据、要求及主要内容：一、设计目的熟练掌握三次样条插值算法的原理和推导过程，并且能够应用Matlab软件编写相应的程序和使用Matlab软件函数库软件。二、设计要求(1)用Matlab函数库中相应函数对选定的问题，求出具有一定精度的结果。(2)使用所用的方法编写Matlab程序求解,对数值结果进行分析。(3)对于使用多个方法解同一问题的，在界面上设计成菜单形式。三、设计内容首先构造三次样条插值函数的定义和一般特征,并对实例问题进行实例分析,并总结四、参考文献[1]黄明游
3、,冯果忱.数值分析[M].北京:高等教育出版社,2008.[2]马东升,雷勇军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2006.[3]石博强,赵金.MATLAB数学计算与工程分析范例教程[M].北京:中国铁道出版社.2005.[4]郝红伟，MATLAB6，北京，中国电力出版社，2001[5]姜健飞，胡良剑，数值分析及其MATLAB实验，科学出版社，2004[6]薛毅，数值分析实验，北京工业大学出版社，2005计划答辩时间：2012年6月18日指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月课程设计说明
4、书（论文）第XIX页三次样条插值摘要分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。故给出分段三次样条插值的构造过程、算法步骤，利用MATLAB软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。关键字:三次样条插值函数MATLAB编程收敛性算法步骤一三次样条函数定义及特征定义1：若函数,且在每个小区间上上是三次多项式，其中是给定节点，则称
5、是节点上的三次样条函数。若节点上给定函数值,且（1.1）成立，则称为三次样条差值函数。从定义知，要求出，在每个应小区间上确定4个待定系数，共有n个小区间，故应确定4n个参数，根据在上二阶导数连续，在节点处应满足连续性条件（1.2）共有3n-3个条件，再加上满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定。通常可在区间端点课程设计说明书（论文）第XIX页上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种：(1)已知两端的一节导数值，即（1.3）(2)两端的二阶导数已
6、知，即（1.4）特殊情况下的边界条件（1.4）’称为自然边界条件（3）当是以为周期函数时，则要求也是周期函数，这时边界条件应满足而此时式中,这样确定的样条函数称为周期函数。二函数推导原理及构造我们采用待定一阶导数的方法即设S(Xj)=Mj,j=0,1,...,n,因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！课程设计说明书（论文）第XIX页由于在内部节点处二阶导数连续条件：整理化简后得：第一类三次样条插值问题方程组
7、由于已知：基本方程组化为n-1阶方程组化为矩阵形式课程设计说明书（论文）第XIX页这是一个严格对角占优的三对角方程组,用追赶法可以求解！第二类三次样条插值问题的方程组,由于已知：故得：稍加整理得联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组，化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优第三类样条插值问题的方程组，由于：立即可得下式：课程设计说明书（论文）第XIX页其中:联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组：求解这些不同类型的样条插值问题的方程组，我们可得所要待定的一阶导数：再代入S(x)的每一段表达式，就求得三次
8、样条函数的表达式!利用插值（即求过已知有限个数据点的近似函数）的基本原理，用多项式作为研究插值的工具，进行代数插值。其基本问题是：已知函数f(x)在区间[a,b]上n+1个不同点x0，…，xn处的函数值(i=0,1,…,n)，求一个至多n次多项式ψn(x)使其在给定点处与f(x)同值，即满足插值条件:ψn(x)==.许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的
