数值分析报告作业-三次样条插值.doc

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1、数值计算方法作业实验名称实验4.3三次样条插值函数（P126）4.5三次样条插值函数的收敛性（P127）实验时间班级学号成绩实验4.3三次样条差值函数实验目的：掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。实验函数:x0.00.10.20.30.4F(x)0.50000.53980.57930.61790.7554求f(0.13)和f(0.36)的近似值实验容：（1）编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件；（2）计算各插值节点的弯矩值；（3）在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线比较插值

2、结果。实验4.5三次样条差值函数的收敛性实验目的：多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。实验容：按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。实验要求：（1）随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；（2）三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数

3、设计车门曲线，其中一段数据如下：0123456789100.00.791.532.192.713.033.272.893.063.193.290.80.2算法描述：拉格朗日插值：其中是拉格朗日基函数，其表达式为：牛顿插值：其中三样条插值：所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a

4、有如下几类：（1）给定区间两端点的斜率m0,mn,即（2）给定区间两端点的二阶导数M0，Mn,即（3）假设y=f(x)是以b-a为周期的周期函数，则要求三次样条插值函数S（x）也为周期函数，对S（x）加上周期条件对于第一类边界条件有对于第二类边界条件有其中那么解就可以为对于第三类边界条件，，由此推得，其中，那么解就可以为：程序代码：1拉格朗日插值函数Lang.mfunctionf=lang(X,Y,xi)%X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%f求得的拉格朗日插值多项式的值n=length(X)

5、;f=0;fori=1:nl=1;forj=1:i-1l=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));end;forj=i+1:nl=l.*(xi-X(j))/(X(i)-X(j));end;%拉格朗日基函数f=f+l*Y(i);endfprintf('%d',f)return2牛顿插值函数newton.mfunctionf=newton(X,Y,xi)%X为已知数据的横坐标%Y为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%f求得的拉格朗日插值多项式的值n=length(X);newt=[X',Y'];%计算差商表f

6、orj=2:nfori=n:-1:1ifi>=jY(i)=(Y(i)-Y(i-1))/(X(i)-X(i-j+1));elseY(i)=0;endendnewt=[newt,Y'];end%计算牛顿插值f=newt(1,2);fori=2:nz=1;fork=1:i-1z=(xi-X(k))*z;endf=f+newt(i-1,i)*z;endfprintf('%d',f)return3三次样条插值第一类边界条件Threch.mfunctionS=Threch1(X,Y,dy0,dyn,xi)%X为已知数据的横坐标%Y

7、为已知数据的纵坐标%xi插值点处的横坐标%S求得的三次样条插值函数的值%dy0左端点处的一阶导数%dyn右端点处的一阶导数n=length(X)-1;d=zeros(n+1,1);h=zeros(1,n-1);f1=zeros(1,n-1);f2=zeros(1,n-2);fori=1:n%求函数的一阶差商h(i)=X(i+1)-X(i);f1(i)=(Y(i+1)-Y(i))/h(i);endfori=2:n%求函数的二阶差商f2(i)=(f1(i)-f1(i-1))/(X(i+1)-X(i-1));d(i)=6*f2(

8、i);endd(1)=6*(f1(1)-dy0)/h(1);d(n+1)=6*(dyn-f1(n-1))/h(n-1);%¸赋初值A=zeros(n+1,n+1);B=zeros(1,n-1);C=zeros(1,n-1);fori=1:n-1B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));C(i)=1