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1、数学建模中的概率统计方法选讲导读：就爱阅读网友为您分享以下“数学建模中的概率统计方法选讲”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对92to.com的支持!数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD在线租赁”问题（2005B）“DVD在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B题，原题参见附件中的文件“2005B”。现考虑问题（1）：15网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中
2、的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？问题（1）的分析与求解：?由表一给出的数据DVD名称DVD1DVD2100DVD350DVD425DVD510愿意观看的人数200可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD的概率为DVD名称租赁的概率DVD10.2DVD20.1DVD30.05DVD40.025DVD50.01?通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”：假设随机变量?ij???1,第i个会员租第j种DVD10000.其中i?
3、1,2,...,，?0,否则显然，?ij服从两点分布，即P(?ij?1)?pj,而上表就给出了这些概率的估计值。进一步，设?j???ij，N?10000，即表示10000人中愿意租赁第j张DVD的人数，显然，随机i?1N变量?j~B(10000,pj)。?由DeMoivre—Laplace中心极限定理，如果准备了E(0.5?j)张DVD，则满足至少0.5?j人看到该DVD的概率（可靠性）为P{0.5?j?E(0.5?j)}?P{0.5?j?E(0.5?j)D(0.5?j)?0}??(0)?0.515显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式P{0.5?j?X}?P{0.
4、5?j?E(0.5?j)D(0.5?j)?X?E(0.5?j)D(0.5?j)}??(2.33)?0.99,可知X?E(0.5?j)?2.33D(0.5?j)?5000pj?2.33?1?10000pj(1?pj)2?如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD两次，40％的会员每个月会租赁DVD一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j张DVD，能否类似地假设为?j???ij，M?16000，而且随机变量?j~B(16000,pj)，然后再求？i?1M答案是否定的，因为?j~B(
5、16000,pj)不再成立。事实上，每月租赁两次的人不会同一张DVD租赁两次。方法二：由于租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还后，可以满足其他会员的租赁要求，所以一张DVD的利用率会提高，因此，可以从DVD的重复利用情况来考虑。15因为一张DVD有可能在一个月中被租赁一次，也可能被租赁两次，所以该张DVD是被会员在一个月内第一次租赁，还是被会员在第二次租赁的情况是随机的，我们假设上述这两种情况是等可能的，于是该张DVD可以被再次利用的期望值为11?0.6??0?0.3，22所以可以得出：只需要准备所需量的70％就可以满足题目中的要求。综上所述，以99％的可靠度满足至少50％的租赁会
6、员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：1??5000p?2.33??10000p(1?p)jjj??0.7?2??思考：我们假设上述这两种情况是等可能的，是否合理？是否可以改进？代入相关数据，可以得到网站为了保证至少50％的人一个月内看到该DVD需要准备的张数可靠度50%70%80%99%DVD17,0007,0247,0387,104DVD23,5003,5183,5293,578DVD31,7501,7631,7711,807DVD4875885890916DVD5350356360375?为了保证在三个月内使得95％的会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供一个月内
7、使得95％的会员看到其想要租赁的DVD总量的1/3，这是因为三个月内DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。因而以99％的可靠度使得三个月内95％的人看到该DVD，网站应准备张数为1?10000?0.95?pj?2.33?0.95?10000pj(1?pj)?0.7315代入相关数据，可以得到网站为了保证至少95％的人三个月内看到该DVD需要准备的张数可靠度50%70%80%99%DVD14,4344,4494,4584,499D
