3、)=PB()3．乘法公式若PAA()"A>0则12n−1PAA()"
4、"A=PAPAA()(
5、)PAAA(
6、)"A12nn12112n−134．全概率公式AA,,""为Ω的完备事件组，则12∞PB()=⋅∑PBAPA(
7、)()iii=15．贝叶斯(Bayes)公式AA,,""为Ω的完备事件组，则，12PBAPA(
8、)()⋅iiPAB(
9、)=i∞∑PBAPA(
10、)()ii⋅i=14二、常见概率分布及其数字特征1.二项分布X~B(n,p)kknk−P==PXkCp{}(=−1)p,0k=,1,",nknEXn=pD,(Xn=−pp1)主要应用在比率的研究中，如产品合格率
11、等。2．泊松分布P(λ)k−λλePXk{}==,0k=,1,2,,"EXDX==λk!主要应用在服务领域，研究泊松流的分布规律。53．负二项分布（巴斯卡分布）记C={第r次成功发生在第k次试验上}，则其概率为krr−1k−rf(;,)krpC=pqk−1r=1时即为几何分布（也称为等待分布）---无记忆性4．区间[a,b]上的均匀分布记作U[a,b]⎧ab+⎧1EX=⎪,[x∈ab,]⎪⎪2密度函数fx()=⎨ba−⎨2⎪⎩0,x∉[,]ab⎪DX=()ba−⎪⎩1265．指数分布(具有无记忆性
12、)−λx⎧λex,0≥11密度函数fx()==⎨,EX,DX=2⎩0,x<0λλ主要应用在产品寿命的研究领域。26．正态分布N(μ,σ)2()x−μ−122密度函数f()xe=⋅∈σ,xR2πσ⋅2EX==μ,DXσ正态分布应用领域比较广泛。此外还有一些分布，例如伽玛分布、威布尔分布、贝塔分布等。7三、林德贝格-勒维中心极限定理设X,…,X独立同分布，且有有限的期望和方差，则1nnn⎛⎞广泛应用在金∑∑XEXkk−⎜⎟近似融、经济、社会kk==11⎝⎠~(N0,1)n等各个领域的随∑DXk机模拟试
13、验中。k=1例如：高尔顿钉板试验8§2概率方法建模实例分析实例一、报童的策略问题1．问题描述报童每天清晨从报站批发报纸零售，晚上将未卖完的报纸退回。设每份报纸的批发价为b，零售价为a，退回价为c，且设a>b>c，因此报童每售出一份报纸赚(a-b)，退回一份赔(b-c)。若批少了不够买就会少赚，若批多了买不完就赔钱，报童如何确定每天批发报纸的数量，才能获得最大收入？92.分析显然应根据需求量来确定批发量。一种报纸的需求量是一随机变量。假定报童通过自己的实践经验或其它方式掌握了需求量的随机规律，即在他
14、的销售范围内每天报纸的需求量为X=x份的概率为P(x)，则通过P(x)和a,b,c就可建立关于批发量的优化模型。3．数学模型设每天批发量为n，因需求量x是随机的，因此x可以小于、等于或大于n，从而报童每天的收入也是随机的，作为优化模型的目标函数，应考虑他长期（半年、一年等）卖报的日平均收入。据概率论中的大数定律，这相当于报童每天收入的期望值（以下简称平均收入）。10设报童每天批发进n份报纸时的平均收入为S(n)，若某天需求量x≤n，则他售出x份，退回(n-x)份；若这天需求量x>n，则n份报纸全部
15、卖出。因需求量为x的概率为P(x)，故平均收入为n∞Sn()=−∑∑[(abxbcnxPx)−(−−+−)()]()(abnPx)()xx==01n+所需考虑的问题变为：当P(x)及a,b,c已知时，求使S(n)达到最大值的n。114．模型求解为便于分析和计算，同时考虑需求量x的取值和n都相当大，故将x视为连续变量，这时概率P(x)转化为概率密度函数f(x)（或分布函数），S(n)的表达式变为n∞Sn()=−−∫∫[(abxbcnxfxdx)(−−)()]()+−(abnfxdx)
