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《高数下第九章例题及答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、复习三重积分1．了解二重的几何意义,会交换二次积分的次序.例1．设D为闭圆域x2+y2£R2,则=.解:此积分表示以半径为R的半球体的体积,即.例2．改变二次积分的积分次序得().(A);(B);(C);(D).解:积分区域为D={(x,y)
2、0£x£1,0£y£x2},积分区域又可表示为,所以.2．会利用直角坐标和极坐标计算二重积分,会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分.例1．计算,其中D由x=0,y=1,y=x围成.解:因为D={(x,y)
3、0£x£1,x£y£1},所以,计算无法进行.因为D={
4、(x,y)
5、0£y£1,0£x£y},所以.例2．计算,其中D由曲线、直线y=x围成.解:积分区域可表示为D={(x,y)
6、0£y£1,y2£x£y},于是=1-sin1.例3．将化成极坐标形式的二次积分.解:积分区域为,在极坐标下,所以.例4．计算二重积分,其中D为x2+y2=1所围成的闭区域.解:.例5．计算三重积分,其中W为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体.解:积分区域可表示为W={(x,y,z)
7、0£z£1-x-y,0£y£1-x,0£x£1},于是.例6．计算三重积分其中W为x
8、2+y2=2z及z=2所围成的闭区域.解:在柱面坐标下积分区域可表示为W:0£q£2p,0£r£2,,于是.例7．计算三重积分,其中W是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域.解:在球面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£j£p,0£r£1,于是.3．会计算立体的体积,会计算曲面的面积,会计算质心或形心.例1．求由抛物柱面z=2-x2及椭圆抛物面z=x2+2y2所围成的立体的体积.解:.例2．求锥面被柱面z2=2x所割下的部分的曲面面积.解:曲面与z2=2x的交线在xOy面上的投影为.所求曲面在xOy在
9、上的投影区域为D={(x,y)
10、x2+y2£2x}..例3．求由曲线ay=x2,x+y=2a(a>0)所围成闭区域的形心.解:闭区域可表示为.因为,,.所以,.练习三1.设区域D为x2+y2£a2,且,a=________.2.设D由y2=x及y=x-2所围成,则=().(A);(B);(C);(D).3.交换下列二次积分的顺序,并画出积分区域草图.(1);(2);(3).4.设D:
11、x
12、£1,0£y£1,则=________.5.曲面x2+y2+z2=R2(z>0)和所围成的立体的体积可表为二重积分_____
13、___.6.计算二次积分.7.利用极坐标计算积分.8.计算二重积分,其中D:x2+y2£2x.9.计算二重积分,D是以点(0,0),(0,p),(p,p)为顶点的三角形区域.10.计算二重积分,其中D为直线y=x和抛物线y=x2所围成的平面区域.11.计算二重积分,其中D是圆环形闭区域{(x,y)
14、a2£x2+y2£b2}.12.计算二重积分,其中D为圆域:x2+y2£R2.13.求,其中W是由曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面z=4所围立体.14.计算,其中W是由曲面与围成.15.求旋转椭球面所围成的旋转体的体积
15、.16.求半圆域x2+y2£a2,x³0的形心.17.求圆锥面含于圆柱面x2+y2=2x内部的曲面面积.
