二次函数根的判别式、韦达定理

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1、一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．也就是说，一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况(是否有实数根)由确定．判别式：设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．若，，为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时是的整数倍

2、，则方程的根为整数根．说明:(1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，;有两个相等的实数根时，;没有实数根时，．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根．①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点．3.一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：（1）运用判别式

3、，判定方程实数根的个数；（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；（3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．二、韦达定理如果一元二次方程（）的两根为那么，就有比较等式两边对应项的系数，得①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足①与②，那么这两数必是一个一元二次方程的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问题．利用根与系数的关系，我们可以不

4、求方程的根，而知其根的正、负性．在的条件下，我们有如下结论：当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值．当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根．⑴韦达定理：如果的两根是，，则，．(隐含的条件：)⑵若，是的两根(其中)，且为实数，当时，一般地：①，②且，③且，特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件．⑶以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：．⑷其他：①若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根(，为有理数)．②若，则方程必

5、有实数根．③若，方程不一定有实数根．④若，则必有一根．⑤若，则必有一根．⑸韦达定理主要应用于以下几个方面：①已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；②已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；③已知方程的两根，求作方程；④结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑤利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．例题一、判断方程根的情况【例1】不解方程，判别下列方程的根的情况

6、：（1）；（2）；（3）。 【例2】不解方程，判别方程的根的情况。 【例3】解关于的方程 【例1】已知关于的方程①有两个相等的实数根．求证：关于的一元二次方程②必有两个相等的实数根．【巩固】已知，，判断关于的方程的根的情况，并给出必要的说明.【巩固】(1998年山东省竞赛)设、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程，，，不可能都有2个相等的实数根．二、应用题【例2】（2006·湛江市）近年来，我市开展以“四通五改六进村”为载体，以生态文明为主要特色的新农村建设活动取得了明显成效．下面是市委领导和市民的一段对话，请你根据对话内容，替市领导回答市民

7、提出的问题（结果精确到0.1%）．全市一共有13233个自然村，2005年已建成生态文明村2315个，计划到2007年全市生态文明村数要达到自然村总数的24.4%领导，按这个计划，从2005年到2007年，平均每年生态文明村增长率约是多少？领导市民【巩固】（2006·新疆）2004年，自治区党委、人民政府决定在乌鲁木齐、库尔勒等八个城市开办区内初中班，重点招收农牧民子女及其他家庭贫困的学生．某市2004年9月招收区内初中班学生50名，并计划在2006年9月招生结束后，使区内初中班三年招生总人数达到450名．若该市区内初中班招生人数平均每年比上年

8、的增长率相同，求这个增长率．【例1】（2006·重庆市）机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用