第七章 空间问题的基本理论

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1、第七章空间问题的基本理论（说明）§7-1平衡微分方程在一般空间问题中，共有15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，而且它们都是x，y，z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程；并在给定约束或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。现在首先来考虑区域内静力学方面条件，导出空间问题的平衡微分方程。在物体内的任意一点P，割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，而棱边的长度为，图

2、7-1。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后面的正应力是，由于坐标x改变了dx，作用在前面的正应力应当是，余类推。由于所取的六面体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。首先，以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程：除以dxdydz，合并相同的项，得。略去微量以后，得。同样可以得出。这些是以前已有的结果，只是又一次证明了切应力的互等性。其次，以x轴为投影轴，列出投影的平衡方程，得由其余2个平衡方程，，可以得出与此相似的2个方程。将这3

3、个方程约简以后，除以dxdydz，得（7-1）这就是空间问题的平衡微分方程。§7-2物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC，平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC，图7-2。当四面体PABC无限减小而趋于P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。命平面ABC的外法线为n′，其方向余弦为。设三角形ABC的面积为dS，则三角形BPC，CPA，APB的面积分别为ldS，mdS，ndS。四面

4、体PABC的体积用dV代表。三角形ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用代表。根据四面体的平衡，平衡得。除以dS，并移项，得当四面体PABC无限减小而趋于P点时，由于dV是比dS更高一阶的微量，所以趋近于零。于是得出下面式（7-2）中的第一式。其余二式可分别由平衡条件同样地得出（7-2）设三角形ABC上的正应力为，则。将式（7-2）代入，并分别用，即得设三角形ABC上的切应力为，则由于而有。（7-4）由式（7-3）及（7-4）可见，在物体的任意一点，如果已知6个坐标面上的应力分量，就可以求得任一斜面上的正应力和切应力。因此，可以说，6个应

5、力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC是物体上受面力作用的边界面，则成为面力分量，于是由式（7-2）得出（在上）（7-5）其中是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。*§7-3主应力最大与最小的应力设经过任一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向。假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主

6、应力。于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为将式（7-2）代入，即得（a）此外还有方向余弦的关系式。（b）如果将式（a）与（b）联立求解，能够得出，的一组解答，就得到P点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解，比较方便。将式（a）改写为（c）这是的3个齐次线性方程。因为由式（b）可见不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式应该等于零，即。用，将行列式展开，得的三次方程（7-6）求解这个方程，如果能得出的三个实根，这些就是P点的三个主应力。为了求得与主应力相应的方向余弦，可以利用式（c）中的任意两式，例如其中的前两

7、式。由此得将上列两式均除以，得可以从而解出比值。于是由式（b）得出，并由已知的比值。同样可以求得与主应力相应的，以及与相应的。下面来考察：在受力物体内的任意一点，究意是否存在着主应力？存在着几个主应力？它们之间又有什么关系？我们知道，实系数的三次方程（7-6）至少有1个实根，因而至少存在着1个主应力以及与之对应的应力主面。把这个主应力称为，并将z轴放在这个应力主向，则。于是平行六面体上的应力如图7-3所示（垂直于图平面的没有画出）。根据§2-3中的分析，可以断定有两个主应力，作用在互相垂直而且垂直于图平面的两个应力主面上，如图所示。这就

8、证明：在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。三次方程（7-6）又可以写成根式方程，即。（d）将式（d）展开，并与式（7-6）比较项的系数，就有（7-7）显然，在一定的应