第七章空间问题的基本理论

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1、第七章空间问题的基本理论§7-1平衡微分方程图7-1在物体内的任意一点P,割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于从标轴，而棱边的长度为PA=dx,PB=dy,PC=dz,图7・1。一般而论，应力分量是位置处标的函数。因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后而的正应力是＜7%,由于坐标兀改变了dx作用在前面的正应力dax,应当是cr^+—dx,余类推。由于所取的六而体是微小的，因而可以认为体力是均匀分布的。首先，以连接六面体前后两中心的直线db为矩轴，列出力矩的平衡方程工Mab=0：略去微量以后，得同样

2、可以得出zx~Tx乙，xy—yx只是又一次证明了切应力的互等性。其次，以X轴为投影轴，列出投影的平衡方程IFV=O，得d(jdTyX(crxHdx)dydz-axdydz+(ryzHdy)dzdx-Tyxdzdx+dxJ'dyy(ttxH—dz)dxdy一r^dxdy+fxdxdydz=0.dz市其余2个平衡方程，工Fy=0和工&=0,可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后，除以dxdydz,得dx(7-1)+讥+%dz+%dzdxdz+%dx+耳dy+人=°・这就是空luj问题的平衡微分方程o§7-2物体内任一点的应力状态现在，假

3、定物休在任一点P的6个直角坐标面上的应力分量Q兀，yz~~^z.y9Tzx~~xyyz"尸》旷尸工xy—^yx为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC,图7-2o当四面体PABC无限减小而趋于P点，平面ABCk的应力就命平面ABC的外法线为〃'，其方向余弦为X图7-2cos（nx）=I,cos（ny）=m.cos（〃；z）=〃。设三角形ABC面积为dS,则三角形BPC,CPA,APB的面积分别为MS,mdS,ndS。U!面体PABC的体积用dV代表。三角形ABC上的全应力#在坐标轴上的投影用px,py,pz代

4、表。根据四面体的平衡条件工厶=0,得：222an=I

5、P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为P点的一个应力主向。假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力0-0于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为px=la,py-mcr,pz=tier。将式(7-2)代入，即得+^yx+nTVC=-lamav+nr7V+Itrv=y令A)二ma,>(a)叫+lTxz+mTyz二-no此外还有方向余弦的关系式72,2.21+m+n=1o(b)如果将式(a)与(b)联立求解，能够得出a.l.m.n的一组解答

6、，就得到P点的一个主应力以及与之对应的应力主面和应力主向。用下述方法求解，比较方便。将式(a)改写为(o—a)l+Tyxm+T^n=0,rxyl+(by—a)m+rzyn=0,>(c)Txzl+tm+(crz-(y)n=°・这是l.m.n的3个齐次线性方程。因为由式(b)可见l.m.n不能全等于零，所以这三个方程的系数的行列式式等于零，即用式Ty^Tu,Txy代替Tzy,Txz,Tyx,将行列式展开，得u的三次方程32?2CT-(crr+(Ty+crz)cr+(cyyaz+azax+axav-tV7-rxv)a-29(crxcrycrz-cr

7、xryz-(ryrxy+2、厂/与)二0・(7-6)证明：在受力物体内的任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。(cr-eq)(cr-cr2)(cr-cr3)=0□+乞。1、体内的任意一点，三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量(不随坐标系而变的量)，并且等于该点的三个主应力之和。2、三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，而三个主应力中最小的一个就是该点的最小正应力。3、又可见，在三个主应力相等的特殊情况下，所有各截面上的正应力都相同(也就等于主应力)，而切应力都等于零。4、最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力

8、与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主误码力的夹角”的平面上。§7-4几何方程及物理方程1几何方程现在来考虑空间问题