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《第七章空间问题的基本理论79298》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第七章空间问题的基本理论（说明）§7-1平衡微分方程在一般空间问题中，共有15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，而且它们都是x,y,z坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，仍然要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件,分别建立三套方程；并在给定约朿或面力的边界上,建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下求解这些方图7-1现在首先来考虑区域内静力学方面条件，导出空间问题的平衡微分方程。在物体内的任意一点P,割取一个微小的平行六面体，它的六面垂直于坐标轴，而棱边的长度为PA=dx,PB=dy,PC
2、=dz,图7・1。一般而论，应力分量是位置坐标的函数。因此，作用在这六面体两对面上的应力分量不完全相同，而具有微小的差量。例如，作用在后面的正应力是b兀，由于坐标X改变了dx,作用在前面的正应力应当是6+乎必，余类推。由于所取的六面体是微小的，因而可以认为OX体力是均匀分布的。图7-1首先，以连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩的平衡方程zydydydxdz-—+t.,_dxdz-—_2K2°J、+—-dzdxdy—-Tzydxdy—=Q.除以dxdydz,合并相同的项，得w2彷，◎2比■OT-—^dz=Q略去微量以后
3、，得同样可以得出这些是以前已有的结果，只是又一次证明了切应力的互等性。其次,图7-1以X轴为投影轴，列出投影的平衡方程工耳=0,(dxdydz-cxdydz+rvv丿(diTyxdzdx+匚i+—丄dzdxdy-Tzxdxdy+fxdxdydz=0.dzdx-由其余2个平衡方程，工化=0和》4=0,可以得出与此相似的2个方程。将这3个方程约简以后，除以dxdydz,得dxdydz—+/y=0,dzdx(7-1)dzdx•+广=0・oy这就是空间问题的平衡微分方程。§7-2物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P的6个直
4、角坐标面上的应力分量J,b：,Tyz=Tzy,Tzx=Txz,Txy=Tyx为已知，试求经过P点的任一斜面上的应力。为此，在P点附近取一个平面ABC,平行于这一斜面，并与经过P点而平行于坐标面的三个平而形成一个微小的四面体PABC,图7・2。当四面体PABC无限减小而趋于P点吋,平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。图7—2，平衡得命平面ABC的外法线为2,其方向余弦为cos兄％)=/,cos(7iy)=m,cos(nz)=n。设三角形ABC的面积为dS,则三角形BPC,CPA,APB的面积分别为IdS,mdS,ndSo四面
5、体PABC的体积用dV代表。三角形ABC上的全应力p在坐标轴上的投影用Px^Py^Pz代表。根据四面体的平衡工耳=°pxdS一oldS一TxxmdS一TzxndS+fxdV=0G•r除以dS，并移项，得P*+人%=1无aS当四面体PABC无限减小而趋于P点时，由于dV是比dS更高一阶的微量，所以—趋近于零。于是得出下面式(7-2)中的第一式。aS其余二式可分别由平衡条件工化=0和工巴=0同样地得出(7-2)px=lcyx+mTyx+nT^Py=mcry+nTzy+lTxy,>pz=naz+lrxz+mTyz・设三角形ABC±的正
6、应力为”料，则6=lpx+mpy+npzo将式(7-2)代入，并分别用厂代替即得a=l2av+m2crv+n2cr_+2mnrv_+2nl^+21mrrv•iay乙y乙入设三角形ABC±的切应力为乙，则由于P2222=Px+Py+Pz而有222=PX+Py+代(7-4)由式(7-3)及(7-4)可见，在物体的任意一点，如果已知6个坐标面上的应力分量”厂”込，ryz..Txy，就可以求得任斜面上的正应力和切应力。因此，可以说，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC是物体上受面力作用的边界面S”，则Px^Py^
7、PZ成为面力分量fxJyJz，于是由式(7-2)得出l/cr+mr+nr)=f.xyxzxJsJma+nr+It)=f>yzyxy/2丿y，/—(在嘉上)(7-5)(y.+加「._)=f.zxzyz丿$Jz,其中&’),，•••，CyJs是应力分量的边界值。这就是空间问题的应力边界条件，它表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。*§7-3主应力最大与最小的应力设经过任一点P的某一斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力称为在P点的一个主应力，该斜面称为在P点的一个应力主面，而该斜面的法线方向称为在P点的一个应力主向
8、。假设在P点有一个应力主面存在。这样，由于该面上的切应力等于零，所以该面上的全应力就等于该面上的正应力，也就等于主应力bO于是该面上的全应力在坐标轴上的投影成为Pxi6py=ma,pz=na将式(7-2)代入，即得lax+mTyx+nTu=la,m
