千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第73炼-求参数的取值范围

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1、第九章求参数的取值范围解析几何求参数的取值范围一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围①椭圆（以为例），则，②双曲线：（以为例），则（左支）（右支）③抛物线：（以为例，则（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程（3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关

2、键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：①二次函数；②“对勾函数”；③反比例函数；④分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或

3、数形结合进行解决。第九章求参数的取值范围解析几何3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可二、典型例题：例1：已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，为

4、椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；解：（1）椭圆方程为：代入可得：椭圆方程为：（2）由（1）可得：设，则在椭圆上第九章求参数的取值范围解析几何即例2：已知椭圆的离心率为，其左，右焦点分别是，过点的直线交椭圆于两点，且的周长为（1）求椭圆的方程（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围解：（1）的周长椭圆方程为：（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程：，解得：第九章求参数的取值范围解析几何，代入可得：由条件可得：，代入可得：例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且在所有过焦点的

5、弦中，弦长的最小值为（1）求椭圆方程（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点（在之间），求三角形与三角形面积比值的范围解：（1）第九章求参数的取值范围解析几何由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为椭圆方程为（2）设，联立直线与椭圆方程：同号设，所解不等式为：，即第九章求参数的取值范围解析几何例4：已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程（3）设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围解

6、：（1）与圆相切即，解得（2）由（1）可得线段的垂直平分线交于点即的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线，设为（3）思路：由已知可得，设，则所求为关于的函数，只需确定的范围即可，因为，所以有可能对的取值有影响，可利用此条件得到关于的函数，从而求得范围。第九章求参数的取值范围解析几何解：与椭圆的交点为，设，因为，化简可得：①考虑由①可得时，可得例5：已知椭圆的离心率，左焦点为，椭圆上的点到距离的最大值为（1）求椭圆的方程（2）在（1）的条件下，过点的直线与圆交于两点，与点的轨迹交于两点，且，求椭圆的弦长的取值范围解：（1）由离心率可得：依题意可得：可得：椭圆方程为：

7、（2）由（1）可得椭圆方程为不妨设第九章求参数的取值范围解析几何①当直线斜率不存在时，，符合题意，可得：②当直线斜率存在时，设直线在圆中可得：解得：设，联立直线与椭圆方程：消去可得：第九章求参数的取值范围解析几何由可得：综上所述：的取值范围是例6：已知椭圆的两个焦点，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为（1）求椭圆的方程（2）如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，若直线与椭圆交于不同的两点，求的取值范围解：（1）使得的点恰有两个的最大值为为短轴顶点时，　　　　到焦点的距离的最大值为椭圆的方程：（2

8、）由椭圆方程可得圆设，由圆的性质可得：第九章求参数的