2011年数学竞赛选拔赛试题答案

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1、第6页共6页院名专业姓名学号考场座位号――――――――――――――――――――――――――装订线――――――――――――――――――――――――――――――－姓名中国民航大学2011年数学竞赛选拔赛试卷题目序号一二三四五六七八九十合计总分得分签字一．填空题（本题共有5小题，每小题2分，满分10分）（1）=(2)设，则（3）设,=（4）函数的单调减少区间为（5）0二．（本题满分10分）设（为正整数），（1）求在闭区间上的最大值；（2）求解：令，得，，当时，当时，；故为的极大值点，6第6页共6页为对应的极大值。又故即为在闭区

2、间上的最大值：（2）三．（本题满分10分）设函数（1）为何值时，在点处连续；（2）为何值时，为的可去间断点。解：因为命，即，解得，当时，，故在点处连续。当时，，故为的可去间断点。6第6页共6页四（本题满分10分，每题5分）（1）设函数，试求，并讨论在处的连续性。解：当时，；当时，，因此，，，因此，在处连续。（2）设，求解：五．（本题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，求该曲线上对应于处的切线与法线方程。解：由直角坐标与极坐标之间的关系得到此曲线的参数方程：6第6页共6页以代入，得到切点坐标为由参数方程求导公式得切线斜率为

3、所以曲线切线、法线的直角坐标方程分别为：六．（本题满分10分）已知由方程所确定，求解：令，则，对方程两端求导，得到（1）将代入，得对（1）式两端再求导，得代入上述结果，得七．（本题满分10分）设函数连续，且，求极限解：，令，则＝6第6页共6页利用积分中值定理，存在，介于0与x之间，因此，八．（本题满分10分）已知,求解：令，则，所以，九．（本题满分10分）设是上连续、正值偶函数，又设，(1)试证：(2)求最小值点。解：（1）（2）由于为偶函数，对于，作变量替换：，则有，于是6第6页共6页由积分中值定理，令，得到，而，因此

4、，是唯一的极小值点，故也是最小值点。十．（本题满分10分）设函数在上连续，在内可导，且，。试证必存在，使。证明：因为在上连续，所以在上连续，设在上的最大值为，最小值为，于是故由介值定理知，存在，使因为，且在上连续，在内可导，因此由罗耳中值定理知，存在，使。6