有关-----《微积分》

《有关-----《微积分》》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、有关-----《微积分》PB08207226舒小婷什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数

2、学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。（对于我们浅学微积分的大学生来说，莱布尼茨的影响感觉更大一些）微积分是从四个方面的问题来的：（1）求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等；（2）求曲线的切线；（3）求运动物体的速度；（4）求一些问题的极大、极小值。当然，这些问题在一些简单的情形下，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些时，则非用微积分不可。而反过来，微积分的

3、诞生，不仅能解上述这些问题，而且其用处大大地超出了这些问题。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲

4、线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备“神奇”的阿基米德。有人问，微积分不是由牛顿和莱布尼茨创立的吗，怎么会与相隔二千多年的阿基米德有联系呢？但实际情况确实如此。在十六世纪后半叶，牛顿和菜布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上，各自独立地创立了徽积分。但微积分的原理，就可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法。远在阿基米德那个时代（公元前二百多年），没有解析几何，甚至连发达的字母符号也没有，可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣。直到今天，在初等的几何学中

5、我们还很难再添加多少新的东西。正是在这种历史条件下，阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积，以及抛物线的弓形面积，他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算。后人在介绍阿基米德这种方法的时候，又用现代的符号和术语进行了加工。下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积为例，介绍他采用的无穷小量求和的方法。设有一抛物线f(x)，求其与横轴x及直线x=p(p>0)所围的面积，即曲边三角形OMP的面积S。阿基米德是这样想的：设OP＝l，将OP分成n等份。曲边三角形OMP被分割成n个带状面积元，这些面积元可近似地看成矩形，各条“带

6、子”的宽度是1/n，第k条带子的高是当处抛物线的纵坐标。所以第k条带子的面积是f(k/n)*1/n,各条矩形带子的面积和S是曲边三角形OPM的近似面积，当x→∞时就得到曲边三角形OPM的精确面积S。曲边三角形OPM的面积求出后，再求抛物线弓形面积就十分容易了（图我打不出来，大家可以想出来的）。我们最感兴趣的还不是上面这个结论本身，而是阿基米德的思想方法，正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法，在两千年后发展成为积分学。阿基米德当时也曾预言：“我认为在现时或未来的研究者中，总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不

7、曾得到的其他定理。”果然如此，他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式，牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的方法，并且给了一个恰当的名词：积分。   真正的微积分诞生17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼茨在1673～1676年间也发表了微积分思想的论著。   以前，微分和积分作为两种

8、数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。   只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微