两个重要极限的应用探讨

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1、两个重要极限的应用探讨学生：牛玺娟指导教师：郭媛摘要微积分中的两个重要极限是:①;②,这两个重要极限是微积分学的基础.本文阐述了两个重要极限的思想意义,讨论了关于两个重要极限的变形极限的判断方法及应用,在分析重要极限的6个基本特征的基础上,给出了4个推广命题,指出了应用对型极限的快捷计算方法,并给出了该重要极限公式与实际应用的结合.关键词:两个重要极限;推广;应用AbstractTwoimportantlimitsarethebasisofcalculus.Thispaperdiscussedtheessentialmeaningoftwoimportantlimitsandprovedt

2、hemusingdifferentmethod.Finally，thepapershowstheapplicationoftwoimportantlimitsinlimitscalculationandelaboratedtherelationbetweentwoimportantlimitsandHospital'sRule.Keywords：Twoimportantlimits;calculus;application;第1章绪论极限概念是由于某些实际问题的精确解答而产生的.两个重要极限的证明必须以极限存在准则为基础，所以有必要首先介绍函数极限存在的两个准则。准则1（夹逼准则）：如果（

3、1）当x∈U（x0，r）或（｜x｜>M）时，（2）或那么或存在，且等于A.准则2：单调有界数列必有极限。1.3两个重要极限的形式通过极限存在准则的应用，得到两个重要极限。第一个重要极限的形式为：（1.1）第二个重要极限的形式为：（1.2）第一个重要极限的数值意义实际上就是函数y=sinx在x=0处的导数，或者是正弦曲线在原点处的斜率.根据单调有界数列必有极限可知，第二个重要极限的极限存在，《高等数学》教材上通常用字母e表示它，其实这个极限值就是无理数e。这个极限形式很特殊，尤其是这个极限值怎么会和e联系上了。实际上，可以通过第二个重要极限的来历来说明它们之间的联系。谈起第二个重要极限的来历

4、，要从复利率说起。假设P0为本金，年利率为r，那么第一年末的利息为P0r，本利的和就是P0+P0r，用P1表示，即P1=P0+P0r作为第二年的本金，到第二年末，就有本利总和P2=P0(1+r)2，这样一年一年继续下去，本金年年增加，利息也逐渐增多，到了第n年末，就有（3.1）和前边的方法一样，计算出如果每月把利息加入到本金一次，第一年年末的本利的和是（3.2）如果存款本金为100元，年利率为0.05，则用3.1式求得第一年末本金加利息为105元，若按3.2式计算，则第一年末本金加利息为105.12元。看来把利息加入到本金一次的时间越短，利息越多。那么，当这个时间“无穷短”的时候,利息会无

5、限增多吗？假设在这一年中，利息是每一瞬间（每一年有n个瞬间）加入到本金一次，上式中的12就变成n,就得到（3.3）为了便于计算，假设r/n=1/m,就得到n=mr，这样3.3式就变为下式（3.4）这就归结到一个问题，就是求的值，即第二个重要极限。其值为e，所以3.4式变为，这时n年末就有，连续化以后，就得到（3.5）求3.5式的导数，得到P’（x）=rP（x），即导数和原函数成正比，凡是满足这个性质的，都叫复利率。例如植物的生长—它新生的部分都立即和母体一样再生长。这就是大自然的复利率，自然现象是不间断的、连续的，都属于此类问题。可以通过y=ex在x=0的泰勒展开式，来近似计算这个极限值，

6、首先计算y=ex的导数得y’=ex，进而可得(ex)(n)=ex。当x=1时，可以得到当n无限增大，得到e的值，即e=2.718281828……于是，就得到了第二个重要极限的值。如古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积时所用的割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限。函数的极限与自变量的变化过程密切相关，其自变量x的变化过程主要有两种，一种为任意地接近于某个有限值x0，另一种是｜x｜趋于无穷大。如果在x→x0的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A

7、，那么就说A是函数f（x）当x→x0时的极限，记作：如果在x→∞的过程中，对应的函数值f（x）无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f（x）当x→∞时的极限，记作：函数的极限具有唯一性、局部有界性以及局部保号性。1.2极限存在准则第2章两个重要极限在微分学中的重要性微分学的基本概念——导数是建立在极限概念基础上的。即求一个函数f(x)在点x处的导数f’(x)，就是计算极限（2.1）当这一极限存在时，其值就是f’(x)。