极限的计算、两个重要极限

《极限的计算、两个重要极限》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第一章第二节机动目录上页下页返回结束极限的计算、两个重要极限二、极限的四则运算法则三、计算极限举例一、无穷小运算法则四、两个重要极限时,有一、无穷小运算法则定理2.4.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2.5.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1.常数与无穷小

2、的乘积是无穷小.推论2.有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束二、极限的四则运算法则则有定理3.若机动目录上页下页返回结束(3)若又有B≠0,则说明:可推广到有限个函数相加、减、乘的情形.推论1.(C为常数)推论2.(n为正整数)机动目录上页下页返回结束例1.设n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束例2.设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:若不能直接用商的运算法则.若例3.求解:x=1时分母=0,分子≠0,但因机动

3、目录上页下页返回结束x=3时分母为0!例4.机动目录上页下页返回结束“约分”x=9时分母为0!例5.“有理化”例6.求解:机动目录上页下页返回结束“通分”例7.求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束一般有如下结果：为非负常数)(如P36例8)(如P36例9)机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束裂项例10解由夹逼定理得机动目录上页下页返回结束三、两个重要极限注目录上页下页返回结束例11.求解:例12.求解:机动目录上页下页返回结束例13.求解:原式=说明:计算中注意利用

4、机动目录上页下页返回结束例14.求解:令机动目录上页下页返回结束且当时，有则原式2.机动目录上页下页返回结束先证明：2、单调有界原理机动目录上页下页返回结束命题单调有界数列必有极限。单调增加有上界（单调减少有下界）的数列必有极限。几何解释:设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有机动目录上页下页返回结束大大正又比较可知机动目录上页下页返回结束根据命题可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.原题目录上页下页返回结束又重要极限可以证明对于连续的自变量x，也有机动目录上页下页返回结束说明:此极限也可写为特点

5、:(1+无穷小)的无穷大次方.该无穷小与无穷大恰好为倒数.则其极限为e.再证明证:当时,设则机动目录上页下页返回结束当则从而有故说明:此极限也可写为时,令机动目录上页下页返回结束例13.求解:机动目录上页下页返回结束例14.求解:令则机动目录上页下页返回结束例15解:两个重要极限的一般形式：或注:代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束定理.设且存在,则证:例如,机动目录上页下页返回结束注意：只能对分子、分母或其部分乘积因子进行等价无穷小替换.～～～～～常用等价无穷小:机动目录上页下页返回结束例16.求解:机动目

6、录上页下页返回结束例17.求解:机动目录上页下页返回结束思考与练习填空题(1～4)第七节目录上页下页返回结束作业P519(1，3，5，7，11，13，16,20);10；15（1，2，5）16（1，3，5，7）