再谈两个重要极限的思想及应用

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1、!Q：ScienceandTechnoJogyInnovationHerald创新教育再谈两个重要极限的思想及应用王小利任俊峰(河南理工大学数学与信息科学学院河南焦作454000)摘要：对两个重要极限的思想及意叉进行分析，并且指出他们在极限计算过程中的所起的不可取代的作用，最后对两个重要极限和罗必达法则进行比较．关键词：重要极限e未定式洛必达法则中图分类号：o173文献标识码：A文章编号：1674—098X(2010)o8(b)一012l一02Abstract：Thisarticlediscuss

2、estheideasandsignificanceofthetwoimportantlimits．Wenotethattheyhasplayedanirreplaceableroleinthelimitcalculation．Finally，WecomparethetwoimportantlimitswiththeLospitalrule．Keywords：theimportantlimittundeterminedtype}Laspitalrule1两个重要极限的思想和意义息每年加入到本金，到了

3、第10年，本利就有=100(1+0．05)，不难1．1两个重要极限的形式算得162．89元。那么，这个结果和把利息加入到本金一次的时在Ⅸ高等数学或者是《数学分析》课程中，介绍完极限的四则间长短边的例子是“每一年”，有没有关系啊?假设把每月、每运算法则和复合函数的极限运算法则之后，我们就会遇到一个问天、每小时、每分钟、每秒钟、每毫秒钟⋯⋯把利息加入到本金一次，会有什么结果呢?题，对于像li—■这种型的极限，既没有办法约分，也没办法直用和前边方法一样，计算出如果每月把利息加入到本金一次，本利的和是接用

4、四则运算来求极限，我们如何求极限．于是，紧接着介绍了极限的存在准则，把这种不能直接用四则运算和复合运算求极限的=(1)．(5)问题，转化为能用四则运算和复合运算求极限，着重介绍两个重要极限：用此公式可算得：loo(1+)2≈105．12元，比105元多了lim兰：1．(1)x-~O0．12元．看来把利息加入到本金一次的时间越短，利息越多．那么，当这个时间”无穷短”的时候，利息会无限增多吗?如果能无限增1Lmo(1+x)e，(2)多，我们就可以自动的成为大款吗?假设在这一年中，利息是每一”瞬间”一每

5、一年有个”瞬间”都加入到本金一次，(5)式中的12就变成或n，就得到lirn(1+)：(3)rrX=(1+二-)=[(1+二_)r(6)这里需要注意仅是一个符号，可以代表趋于0(或者是OO)的未知数，也可以代表趋于0(或者是OO)的代数式，只要保r1为了便于计算．假设一，就得到n：mr，这样(6)式就变为持重要极限公式中三个地方的X是统一的即可。m1．2两个重要极限的思想=gO+L)=[(1+)]学过导数以后，我们知道，重要极限(1)的数值实际上就是函．(7)数Y=sinx在X：0处的导数，或者是

6、正弦曲线在原点处的斜率，这只能说明重要极限(1)的意义，计算不出数值。证明这个重要极这就归结到一个问题，求(1)的值，即重要极限(2)．(7)限，我们要利用三角函数概念，在单位圆中，利用角对应的弧式变为=ge，这时，n年末就有=Poe，连续化以后，得到长，正切线，正弦线的大小关系，根据极限存在准则I(夹逼准则)，得到结果，具体的证明过程，见参考文献⋯。P(X)=Poe(8)求(8)式的导数，得到尸，)=ge=)，即导数和原函数成正在证明的过程中，可以发现，角X趋于0的过程中，它对应的比，凡是满足这

7、个性质的，都叫复利率．例如，植物的生长一它新生的弧段越来越接近干正弦线，所以两者比值的极限趋于1．将这种思部分都立即和母体一样再生长．这就是大自然的复利率，自然现象是想推而广之，就是“无穷小曲线段等于直线(切线)段，从几何方面不间断的、连续的，都属于此类问题，所以才说这个极限式重要。来说，正是体现了微分学里以直代曲的思想。(2)式的极限存在性，前边已经证明，可以通过Y=e在x=0根据极限的存在准则II(单调有界数列必有极限)，重要极限的Tayor展式，来近似计算这个极限值(注意自然对数函数，就是以

8、(2)的极限存在见(参考文献⋯)，《高等数学》教材上写到“通常用字这个极限值为底的对数函数)，首先计算Y：e的导数，由重要极母e表示它”，其实这个极限值就是无理数e．这个极限形式很特限(2)，得到如下式的极限：殊，尤其是这个极限值怎么会和联系上了，这一点往往让我们感觉到很困惑．实际上，可以通过重要极限(2)的来历和应用来说明lira：lIl(10(1_l'这件事情．⋯-+0r0。_+谈起重要极限(2)的来历，要从复利率说起．假设为本金，年ime"-lt-X利率为，那么第一年末的利息